Exercícios Resolvidos de Determinantes em Blocos

Elaboração própria

Calcule o determinante da matriz abaixo.

1 6 7 8 2 0 9 3 0 5 0 9 7 0 7 4 5 4 1 0 0 0 0 1 7 2 0 0 1 3 0 9 3 0 0 0 0 4 7 5 0 0 0 0 7 1 5 0 0

Passo 1

a   Essa matriz parece muito grande né? Bom realmente ela é, mas podemos dar um jeito nisso. Repare que ela tem muitos zeros na 5 e 4 coluna, porém isso não é nada vantajoso para nós, pois precisamos de matrizes desse jeito:

M = A B 0 D

M = A 0 C D

Para podemos calcular o determinante por matrizes em blocos. Assim o que podemos fazer é trocar as duas últimas colunas com as duas primeiras:

M ' = 9 0 7 8 2 6 1 0 7 5 0 9 0 3 0 0 5 4 1 4 7 0 0 1 7 2 0 0 0 0 0 9 3 3 1 0 0 4 7 5 0 0 0 0 7 1 5 0 0

Lembrando que como trocamos duas colunas o sinal do determinante não altera.

det ⁡ M = det ⁡ M '

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora sim podemos separar em blocos essa matriz:

Tomando:

A = 9 0 0 7

D = 5 4 1 4 7 1 7 2 0 0 0 9 3 3 1 4 7 5 0 0 7 1 5 0 0

E assim:

det ⁡ M ' = det ⁡ A ⋅ d e t ⁡ ( D )

Bom, chegamos de novo em uma matriz grande. Do jeito que ela está, não podemos dividir em blocos de zero do jeito que gostaríamos, o que podemos fazer é trocar a terceira linha com a segunda linha:

D ' = 5 4 1 4 7 0 9 3 3 1 1 7 2 0 0 4 7 5 0 0 7 1 5 0 0

Passo 3

Agora vamos trocar a coluna 5 com a 1 e a 4 com a 2 :

D ' ' = 7 4 1 4 5 1 3 3 9 0 0 0 2 7 1 0 0 5 7 4 0 0 5 1 7

E agora podemos separar a matriz em blocos:

Assim seu determinante vai ficar:

det ⁡ D = - - - det ⁡ D ' ' = - d e t ⁡ ( D ' ' )

det ⁡ D ' ' = det ⁡ E ⋅ d e t ⁡ ( H )

Sendo:

E = 7 4 1 3

H = 2 7 1 5 7 4 5 1 7

E assim podemos finalmente calcular o determinante da nossa matriz M :

det ⁡ M = det ⁡ M ' = det ⁡ A ⋅ d e t ⁡ ( D )

det ⁡ D = - d e t ⁡ ( D ' ' )

det ⁡ D ' ' = det ⁡ E ⋅ d e t ⁡ ( H )

Passo 4

Vamos começar calculando o determinante de D ' ' :

det ⁡ E = 17

det ⁡ H = - 45 ∴

det ⁡ D ' ' = 17 ⋅ - 45 = - 765 ∴

det ⁡ D = 765

det ⁡ A = 63 ∴

det ⁡ M = 63 ⋅ 765 = 48195

Resposta

det ⁡ M = 48195

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