Exercícios Resolvidos de Determinantes em Blocos

Livro Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, Marco Cabral e Paulo Goldfeld, página 189 Problema 6.5

Divida em blocos para calcular o determinante das matrizes abaixo (trocando linhas ou colunas de lugar se necessário).

a   3 4 0 0 2 3 0 0 5 6 7 1 0 1 1 2

b   0 0 2 0 0 0 0 3 3 1 5 0 1 2 0 3

c   3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1

Passo 1

a   Temos que dividir a matriz na forma:

M = A x y D

De modo que no lugar do x ou y tenha pelo menos um bloco de zeros. Assim, podemos ver que na letra ( a ) , podemos tomar x = 0 0 0 0 E assim podemos aplicar a propriedade do determinante de matriz em blocos!

det ⁡ M = det ⁡ A ⋅ d e t ⁡ ( D )

Como:

A = 3 4 2 3

D = 7 1 1 2

Podemos calcular o determinante da matriz original:

det ⁡ A = 1

det ⁡ D = 13

det ⁡ M = 1 ⋅ 13 = 13

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Passo 2

b   Bom, essa matriz já é um pouco mais difícil de calcular, pois não se enquadra nestes tipos: A 0 C D ,   A B 0 D . O bloco de zeros está no lugar das matrizes A , D e assim não dá pra aplicar a propriedade que queremos. Entretanto podemos trocar a coluna 1 com a coluna 4 e a coluna 2 com a coluna 3 , lembrando que o determinante muda de sinal cada vez que fazemos isso e como fizemos isso duas vezes o sinal volta a ser o original.

0 2 0 0 3 0 0 0 0 5 1 3 3 0 2 1

Agora sim temos uma matriz do tipo A 0 C D e podemos aplicar as propriedades! Mas antes, vamos separar quem são as matrizes A , B :

A = 0 2 3 0

D = 1 3 2 1

Assim fica fácil de calcular o determinante da matriz original:

det ⁡ M = det ⁡ A ⋅ det ⁡ D

det ⁡ A = - 6

det ⁡ D = - 5

det ⁡ M = - 6 ⋅ - 5 = 30

Passo 3

c   Dessa vez não temos um grupo quadradinho de zeros, mas lembre-se que não precisamos disso! Basta dividirmos um grupo de zeros com a matriz A , D quadradas:

M = A 0 C D

M = A B 0 D

Assim, basta tomar:

A = 3 4 2 3

D = 1 1 1 1 0 1 0 1 1

Logo o determinante da nossa matriz é:

det ⁡ A = 1

det ⁡ D = 0 + 1 - 1 - 1 = - 1 ∴

det ⁡ M = det ⁡ A ⋅ det ⁡ D = - 1

Resposta

a   13

b   30

c - 1

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