Exercícios Resolvidos de Determinantes em Blocos

Ver Teoria

Enunciado

Calcule a soma dos módulos dos autovalores da matriz

7 - 2 - 10 12 - 3 - 14 0 0 - 1

  1. 5
  2. 7
  3. 8
  4. 4

Passo 1

Fala aii galerinha bonita, tudo jóinha?! Nesse exercício aqui a gente tá afim de encontrar a soma dos módulos dos autovalores da matriz:

A = 7 - 2 - 10 12 - 3 - 14 0 0 - 1

Então além da gente encontrar os autovalores, precisamos encontrar o módulo deles, aí sim a gente vai poder somar e descobrir nossa resposta rsrs

Passo 2

Belezoca pra gente encontrar os autovalores de uma matriz, resolvemos a seguinte equação:

det ⁡ A - λ I = 0

Onde λ I   é a matriz diagonal que possui os autovalores λ na diagonal principal:

λ I = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Portanto queremos que o determinante dessa diferença seja igual a 0 :

det ⁡ 7 - 2 - 10 12 - 3 - 14 0 0 - 1 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = 0

det ⁡ 7 - λ - 2 - 10 12 - 3 - λ - 14 0 0 - 1 - λ = 0

Então se a gente calcular esse determinante, os valores de λ que satisfazerem a igualdade, serão nossos autovalores.

Passo 3

Mas agora que vem o bizu matador das galáxias, porque pra calcular esse determinante, a gente pode separar essa matriz A por matrizes em blocos, desse jeito:

Agora a gente dividiu nossa matriz A em 4 matrizes distintas B ,   C ,   D e E :

Onde temos:

B = 7 - λ - 2 12 - 3 - λ ,     C = - 10 - 14 ,     D = 0 0 ,     E = - 1 - λ

E o determinante dessa matriz, pode ser calculado como se fosse um determinante de matriz 2 × 2 , multiplicando os termos em forma de cruz, tipo assim:

det ⁡ ( A ) = det ⁡ B det ⁡ E - det ⁡ C det ⁡ D

E o legal da gente fazer essa divisão, é que se a gente reparar na matriz, vemos que D é uma matriz formada somente de zeros:

D = 0 0

Isso quer dizer que o produto det ⁡ C det ⁡ D vai ser igual a 0 :

det ⁡ C det ⁡ D = 0

Tal que nosso determinante se resume ao produto entre:

det ⁡ A = det ⁡ B det ⁡ E - 0

det ⁡ ( A ) = det ⁡ B det ⁡ E

Passo 4

Agora que a gente viu que podemos separar esse determinante em blocos, vamos dividir cada um deles pra gente calcular separado, saca só:

det ⁡ ( A ) = det ⁡ B det ⁡ E

det ⁡ ( A ) = det ⁡ 7 - λ - 2 12 - 3 - λ det ⁡ - 1 - λ

Então para o primeiro determinante, temos:

det ⁡ 7 - λ - 2 12 - 3 - λ = 7 - λ - 3 - λ - - 2 12

det ⁡ 7 - λ - 2 12 - 3 - λ = - 21 - 7 λ + 3 λ + λ 2 + 24

det ⁡ 7 - λ - 2 12 - 3 - λ = λ 2 - 4 λ + 3

Ainda podemos reorganizar essa equação do segundo grau, como um produtinho notável, desse jeito:

det ⁡ 7 - λ - 2 12 - 3 - λ = λ - 1 λ - 3

Iradoso, e para o outro determinante, obtemos:

det ⁡ - 1 - λ = - 1 - λ

Portanto, temos que na verdade o determinante da matriz A , é dado por:

det ⁡ ( A ) = det ⁡ B det ⁡ E

det ⁡ ( A ) = λ - 1 λ - 3 - 1 - λ

Passo 5

E como queremos igualar esse limite a zero, fazemos:

det ⁡ ( A ) = λ - 1 λ - 3 - 1 - λ = 0

λ - 1 λ - 3 - 1 - λ = 0

Logo, nossos autovalores são:

λ 1 = 1 ,     λ 2 = 3 ,     λ 3 = - 1

E como queremos a soma do módulo deles, fazemos:

1 + 3 + - 1 = 1 + 3 + 1

1 + 3 + - 1 = 5

Meczada, então nossa resposta certa é a letra (a).

Resposta

Letra (a)