Exercícios Resolvidos de Determinantes em Blocos

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Enunciado

Sejam

O = 0 0 0 0 ,   B = 2 1 0 2   e   A = B O O O B O O O B

A dimensão do autoespaço de A associado ao autovalor 2 é:

a   2

b   3

c   1

d   6

Passo 1

Bom, você pode fazer todo o raciocínio de autovalores e autovetores em blocos mesmo. Mas como não estamos acostumados acho melhor reescrevermos a matriz pra não ter problema haha. Ela fica assim oh:

A = 2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 2

Para calcular os Autovetores associados a λ = 2 , basta acharmos o núcleo da matriz A - 2 I :

2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 2 - 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

Passo 2

Para encontrarmos o núcleo fazemos:

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 0 0 0 0 0 0

Isso nos diz que:

x 2 = 0 x 4 = 0 x 6 = 0

Com isso podemos ver que nos resta apenas 3 variáveis livres, que irão gerar 3 vetores L I (no caso do problema) no nosso conjunto solução. Então, podemos ver que a dimensão do autoespaço será 3

Resposta

Letra ( b )