Exercícios Resolvidos de Difusão sem Reação Química

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Enunciado

A pressão em uma tubulação que transporta gás hélio a uma taxa de 2   k g / s é mantida a 1   a t m pela ventilação de hélio para a atmosfera através de um tubo de 5   m m de diâmetro interno, que se estende 15   m no ar, como mostrado na Figura. Supondo que ambos, o hélio e o ar atmosférico, estão a 25 ° C , determinar:

  1. a vazão mássica de hélio perdido para a atmosfera através do tubo;
  2. a vazão e a fração mássica de ar que se infiltra na tubulação;
  3. a velocidade do escoamento no fundo do tubo onde este está ligado à tubulação que vai ser medida por um anemômetro em regime permanente.

Dados: O coeficiente de difusão do hélio no ar D A B = 7,2 ⋅ 10 - 5   m 2 / s .

A Massa molar do ar 29   k g / k m o l e a do hélio 4   k g / k m o l

A constante dos gases R = 8,314   k P a ⋅ m 3 / k m o l ⋅ K

Passo 1

Fala aí! Vamos começar fazendo algumas suposições que nos ajudem a resolver nosso exercício, beleza?

A primeira é que estamos trabalhando com regime permanente, o ar e o hélio nós vamos considerar como sendo gases ideias, não ocorrem reações químicas no tubo e que a concentração de ar na tubulação e de hélio na atmosfera são desprezíveis… Feito isso, agora partiu ir pra resolução!

Temos um problema com dois grandes reservatórios de misturas de gases ideais ligados entre si por um canal e as concentrações das espécies em cada reservatório permanecem constantes… Ou seja, estamos trabalhando com contradifusão equimolar!

Vamos começar resolvendo a letra a! Ela quer a vazão mássica de hélio que vai para a atmosfera… Pra começar, vamos encontrar a área do nosso escoamento:

A = π ⋅ D 2 4

Com o diâmetro dado, vamos ter:

A = π ⋅ 0,005 2 4 = 1,963 ⋅ 10 - 5   m 2

Nossas condições de contorno dizem que no fundo do tubo a pressão parcial de hélio é 1   a t m , isso quer dizer que:

x = 0 y A 1 = 1 y A 2 = 0

E sabendo que no topo, em x = 15   m , a vazão molar é:

W A ,   z = A ⋅ N A ,   z =   - A ⋅ D A B R ⋅ T ⋅ z 2 - z 1 ⋅ P A 2 - P A 1

Substituindo os dados que temos:

W A ,   z =   - 1,963 ⋅ 10 - 5   ⋅   7,2 ⋅ 10 - 5 8,314   ⋅   298   ⋅   15 - 0 ⋅ 0 - 101,3

W A ,   z =   3,85 ⋅ 10 - 12   k m o l / s

Então a vazão mássica será:

m A = W A ⋅ M A

Substituindo nossos valores:

m A = 3,85 ⋅ 10 - 12 ⋅ 4

m A = 1,54 ⋅ 10 - 11   k g / s

Show! Partiu letra b!

Passo 2

Agora precisamos da fração mássica do ar que entra na tubulação, vamos nessa!!

Lembrando que em um processo de contradifusão equimolar temos que W A =   - W B , então:

W B =   - 3,85 ⋅ 10 - 12   k m o l / s

Opa! Então vamos achar a vazão mássica dentro da tubulação:

m B = W B ⋅ M B

m B =   - 3,85 ⋅ 10 - 12 ⋅ 29

m A =   - 1,12 ⋅ 10 - 10   k g / s

Então podemos encontrar a fração mássica de ar na tubulação, será:

w B = m B m t o t a l

Lembrando que a massa total será A vazão mássica total menos a vazão mássica em A e em B, vamos ter:

w B = 1,12 ⋅ 10 - 10 2   +   1,2 ⋅ 10 10   -   1,54 ⋅ 10 - 11

w B = 5,6 ⋅ 10 - 11 ≈ 0

Opa! Isso significa que o ar no interior da tubulação é desprezível, ou seja, nossa suposição inicial se confirmou!

Passo 3

Agora só falta a letra c! Precisamos encontrar a velocidade média do escoamento no fundo do tubo… Para isso, vamos começar encontrando a vazão mássica líquida através do capilar:

m l í q u i d o = m A + m B

m l í q u i d o = 1,54 ⋅ 10 - 11 - 1,12 ⋅ 10 - 10

m l í q u i d o =   - 9,66 ⋅ 10 - 11 k g / s

Como a gente está considerando o hélio e o ar como gases ideais, podemos encontrar a densidade do hélio assim:

ρ H e = P ⋅ M R ⋅ T

ρ H e = 101,3 ⋅ 4 8,314 ⋅ 298

ρ H e = 0,1637   k g / m 3

Beleza! Com esses dados podemos encontrar a velocidade com a relação:

v = m l í q u i d o ρ   ⋅   M

v = - 9,66 ⋅ 10 - 11 0,1637   ⋅   4

v =   - 3,01 ⋅ 10 - 5   m / s

Show de bola! Terminamos!

Resposta

  1. m A = 1,54 ⋅ 10 - 11   k g / s
  2. w B = 5,6 ⋅ 10 - 11 ≈ 0
  3. v =   - 3,01 ⋅ 10 - 5   m / s

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