Exercícios Resolvidos de Distâncias entre Pontos

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Enunciado

Considere as retas r : X = 1,0 , 1 + λ - 1,1 , 0 , com λ ∈ R e s : X = 0,1 , 2 + μ ( 2,0 , 1 ) , com μ ∈ R , bem como o vetor t → = 0,1 , 3 . Se t é uma reta paralela a t → , e os pontos P = ( a , b , c ) e Q = ( a ' ,   b ' ,   c ' ) são tais que P = t ∩ r e Q = t ∩ s , então a + b + c + a ' + b ' + c ' é igual a:

a) 18 / 5

b) 28 / 5

c) 29 / 5

d) 5

e) 2

Passo 1

Faaaaala pessoal, tudo certinho?

Nessa questão temos duas retas:

r : X = 1,0 , 1 + λ - 1,1 , 0

s : X = 0,1 , 2 + μ ( 2,0 , 1 )

E nos é falado sobre uma terceira reta t , cujo vetor diretor vale:

t → = ( 0,1 , 3 )

e que intersecta r no ponto P = ( a , b , c ) e s no ponto Q = ( a ' , b ' , c ' ) .

Precisamos determinar quando vale:

a + b + c + a ' + b ' + c '

Para fazer isso precisamos usar a equação de r e s para escrever uma expressão para P e Q em função de λ e μ . Após isso, calculamos o vetor diretor da reta t fazendo Q - P e comparamos com t → .

Bora lá?!

Passo 2

Pela equação de r , temos:

r : X = 1,0 , 1 + λ - 1,1 , 0

Assim, o ponto P pode ser escrito como:

P = 1 - λ ,   λ ,   1

Já pela equação de s , temos:

s : X = 0,1 , 2 + μ ( 2,0 , 1 )

Logo, o ponto Q pode ser escrito como:

Q = 2 μ ,   1 ,   2 + μ

Perfeito!

Como P e Q pertencem a reta t , podemos escrever o seu vetor diretor como sendo:

Q - P = k t →

Ou seja, a direção que liga P e Q é paralela ao vetor diretor da reta.

Assim:

2 μ ,   1 ,   2 + μ - 1 - λ ,   λ ,   1 = k 0,1 , 3

Desenvolvendo o lado esquerdo:

2 μ - 1 + λ ,   1 - λ ,   2 + μ - 1 = k ( 0,1 , 3 )

O que nos permite montar o seguinte sistema:

2 μ - 1 + λ = 0   1 - λ = k 2 + μ - 1 = 3 k

Da primeira equação, temos:

2 μ = 1 - λ

Dividindo a terceira equação pela segunda equação, vem:

1 + μ 1 - λ = 3

Mas, 1 - λ = 2 μ . Substituindo, temos:

1 + μ = 3 ⋅ 2 μ

1 = 5 μ

∴ μ = 1 5

Logo:

2 ⋅ 1 5 = 1 - λ

∴ λ = 3 5

Perfeito!

Passo 3

Com esses resultados, temos:

P = 1 - λ ,   λ ,   1

= 2 5 , 3 5 ,   1

E:

Q = 2 μ ,   1 ,   2 + μ

= 2 5 ,   1 , 11 5

Assim, temos:

a , b , c = 2 5 , 3 5 ,   1 a ' , b ' , c ' = 2 5 , �� 1 , 11 5  

Portanto:

a + b + c + a ' + b ' + c '

= 2 5 + 3 5 + 1 + 2 5 + 1 + 11 5

= 28 5

Logo, a resposta é letra b).

É isso gente, até a próxima 😊

Resposta

Letra b).

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