Exercícios Resolvidos de Distâncias entre Pontos

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Enunciado

Sabendo que o ponto P 1 = 1 ,   1 , b é equidistante dos pontos P 2 = 1 , 4 ,   6 e P 3 = ( 4 ,   5 ,   2 ) , encontre o valor de b .

Passo 1

O enunciado diz que P 1 é equidistante de P 2 e P 3 , ou seja d P 1 ,   P 2 = d ( P 1 ,   P 3 ) !

Vamos começar escrevendo essas distâncias na fórmula:

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Para d ( P 1 , P 2 ) :

d P 1 , P 2 = 1 - 1 2 + 1 - 4 2 + b - 6 2

d P 1 , P 2 = 0 + - 3 2 + b 2 - 12 b + 36

d P 1 , P 2 = b 2 - 12 b + 45

Para d ( P 1 , P 3 ) :

d P 1 , P 3 = 1 - 4 2 + 1 - 5 2 + b - 2 2

d P 1 , P 2 = - 3 2 + - 4 2 + b 2 - 4 b + 4

d P 1 , P 2 = b 2 - 4 b + 29

Passo 2

Passo 3

Como d P 1 ,   P 2 = d ( P 1 ,   P 3 ) , basta igualarmos essas distâncias (equacionadas no passo 1) para encontrar b !

Igualando,

b 2 - 12 b + 45 = b 2 - 4 b + 29

Elevando os dois lados ao quadrado para tirar a raiz,

b 2 - 12 b + 45 = b 2 - 4 b + 29

45 - 29 = - 4 b + 12 b

16 = 8 b

b = 2

Resposta

b = 2  

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