Exercícios Resolvidos de Distribuição de Frequências

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Enunciado

Depois de 1964 , as moedas de 25 centavos de dólar passaram a ser fabricadas de modo que seus pesos tenham distribuição normal, com média de 5,67 g e um desvio-padrão de 0,06 g . Algumas máquinas de venda são planejadas para que você possa ajustar os pesos das moedas de 25 centavos que serão aceitas. Se muitas moedas falsas são encontradas, você pode diminuir a amplitude dos pesos das moedas aceitáveis, com o efeito de que muitas moedas falsas serão rejeitadas junto com algumas poucas moedas legítimas.

a) Se você ajusta máquinas de venda para aceitar pesos entre 5,64 g e 5,79 g , que porcentagem de moedas de 25 centavos legítimas é rejeitada?

b) Se você ajusta máquinas de venda para aceitarem todas as moedas legítimas, exceto aquelas com pesos nos 2,5 % superiores e nos 2,5 % inferiores, quais são os limites dos pesos daquelas que serão aceitas?

Passo 1

Ooi pessoal, como vocês estão?

Nessa questão temos um probleminha de distribuição normal. Basicamente, o peso das moedas de 25 centavos de dólar seguem uma distribuição normal com:

μ = 5,67 g σ = 0,06 g

Para burlar possíveis falsificações de moedas, máquinas de venda procuram restringir o intervalo de pesos que aceitarão como uma moeda legítima.

Assim, o item a) nos pede para calcular a porcentagem de moedas legítimas que é rejeitada, se limitarmos nossa máquina para aceitar pesos apenas entre 5,64 g e 5,79 g .

Tranquilo?!

Então, como trata-se de uma distribuição normal, podemos imaginar aquele gráfico de em forma de sino e tentar representar a nossa situação:

O intervalo de valores que será aceito pela máquina é justamente a região azul, mas toda região à esquerda e à direita dos extremos, representa moedas legítimas que serão rejeitadas.

Sendo assim, precisamos calcular justamente essas probabilidades. Ou seja:

P = P X ≤ 5,64 + P ( X ≥ 5,79 )

Perfeito! Vamos então usar a distribuição normal para calcular cada uma dessas probabilidades.

Passo 2

Bom, vamos começar calculando P ( X ≤ 5,64 ) .

Sabemos que essa distribuição normal possui:

μ = 5,67 g σ = 0,06 g

Assim, temos:

P X ≤ 5,64 = P Z ≤ 5,64 - μ σ

= P ( Z ≤   - 0,5 )

A prova nos trouxe a tabela justamente para esse tipo de probabilidade ( P ( z ≤ k ) :

Sendo assim, vamos consultá-la para Z ≤ - 0,5 :

P Z ≤ - 0,5 = 0,3085

Perfeito!

Agora, vamos calcular P ( X ≥ 5,79 ) .

Normalizando novamente, temos:

P X ≥ 5,79 = P Z ≥ 5,79 - 5,67 0,06

= P ( Z ≥ 2 )

O problema agora é que a tabelinha dada só nos ajuda a calcular probabilidades do tipo P ( Z ≤ k ) , então podemos usar que:

P Z ≥ 2 = 1 - P Z < 2

Pela tabelinha, temos que:

P Z < 2 = 0,9772

Logo:

P Z ≥ 2 = 1 - 0,9772

= 0,0228

Excelente!

Como havíamos afirmado no passo 1 :

P = P X ≤ 5,64 + P X ≥ 5,79

= 0,3085 + 0,0228

∴ P = 0,3313   o u   33,13 %

Passo 3

Vamos para o item b).

Agora queremos aceitar todas as moedas que estão entre os 2,5% inferiores e os 2,5% superiores. Precisamos determinar quais os valores dos pesos da moeda correspondem a esses extremos.

Tranquilo? Vamo lá!

Começando pelos 2,5 % inferiores, concorda então que é equivalente a dizer:

P Z ≤ x 1 - 5,67 0,06 = 0,025

Analisando a tabela, temos que:

P z ≤ - 1,96 = 0,024998

Assim:

x 1 - 5,67 0,06 =   - 1,96

⇒ x 1 =   - 1,96 ⋅ 0,06 + 5,67

Logo:

x 1 = 5,55 g

Já para o limite superior, como também trata-se do top 2,5 % , a distribuição normal tem a propriedade de que esses limites devem afastar-se igualmente da média. Assim:

x 2 - 5,67 = 5,67 - 5,55

Logo:

x 2 = 5,79 g

Portanto, os limites são:

5,55 g ≤ X ≤ 5,79 g

E é isso galera! Matamos mais uma questãozinha.

Espero que vocês tenham curtido a solução 😊

Resposta

a) P = 0,3313   o u   33,13 %

b) 5,55 g ≤ X ≤ 5,79 g

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