Exercícios Resolvidos de Distribuição de Frequências

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Enunciado

O tempo X (em milissegundos) até que uma reação química esteja completa é aproximado pela função de distribuição acumulada:

F X x =   1 - e - 0,01 x ,           s e   x ≥ 0 0 ,     s e   x < 0  

a) Que proporção de reação é completada dentro de 200 milissegundos?

b) Calcule o valor esperado do tempo da reação química.

c) Considere que o tempo Y para completar todo o experimento seja uma função de X dada por Y = 11 X 3 + 7 . Obtenha o tempo médio e a variância para completar todo o experimento.

Dica: E X 2 = 2 0,01 2 = 20.000 .

Passo 1

Fala aí gente bonita, tudo na paz?

Nessa questão, estamos trabalhando com variáveis aleatórias contínuas. É por isso que o enunciado nos deu uma função de distribuição acumulada. Ela é dada por:

F X x =   1 - e - 0,01 x ,           s e   x ≥ 0 0 ,     s e   x < 0

X é justamente a variável aleatória que representa o tempo decorrido da reação.

F X ( x ) nos dá a probabilidade de que no tempo x a reação esteja completa. E, calculamos essa probabilidade usando:

P X ≤ x = F X ( x )

Tranquilo até aqui?

Então, nesse exercício precisamos calcular a proporção da reação que é completada dentro de 200 milissegundos, o valor esperado do tempo da reação química. Depois, o problema vai mudar um pouquinho e vamos ver com mais calma lá na frente.

Mas, como fazer isso né?

Bom, pra calcular a proporção da reação química concretizada em 200 milissegundos precisaremos analisar isso através das probabilidades quando x = 200 .

Já para calcular o valor esperado vamos usar que:

E X =   ∫ - ∞ + ∞ x ⋅ f x d x

onde f ( x ) é a função densidade de probabilidade, dada por:

f x = d F X x d x

Então, bora lá! Mão na massa haha

Passo 2

Pra começar, no item a) devemos calcular a proporção da reação completada quando X = 200 milissegundos.

Então gente, pensa comigo, tudo que temos é a função de distribuição acumulada, que nos dá a probabilidade da reação ter sido completa nesse tempo.

Precisaremos trazer uma relação entre essa probabilidade e a proporção completada da reação. Nesse caso, não temos muitas opções a não ser considerar que essa probabilidade equivale justamente à proporção completa da reação.

Assim:

P X ≤ 200 = F 200

Como:

F X x =   1 - e - 0,01 x ,           s e   x ≥ 0 0 ,     s e   x < 0

Temos:

⇒ F 200 = 1 - e - 0,01 ⋅ 200

= 1 - e - 2  

= 0,86

Portanto, dizemos que a proporção da reação completa em 200 milissegundos é de 0,86 ou 86 % .

Passo 3

Massa! Agora vamos calcular o valor esperado do tempo da reação química. Para isso, fazemos:

E X =   ∫ - ∞ + ∞ x ⋅ f x d x

onde:

f x = d F X x d x

Beleza! Começando pelo cálculo da função de densidade, temos:

f x = d 1 - e - 0,01 x d x ,   x ≥ 0

Se x < 0 , F x = 0 e consequentemente f ( x ) também igual a 0 .

Usando que:

e α x d x = α ⋅ e α x

Temos:

f x = 0,01 ⋅ e - 0,01 ⋅ x

Perfeito! Substituindo na expressão do valor esperado, teremos:

E X =   ∫ 0 + ∞ x ⋅ 0,01 ⋅ e - 0,01 ⋅ x d x

(O limite de integração inferior passou a ser 0 , pois se x < 0 temos f x = 0 ).

= 0,01 ⋅ ∫ 0 + ∞ x ⋅ e - 0,01 ⋅ x d x

Essa é uma integral imprópria, logo:

E X = 0,01 ⋅ lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a x ⋅ e - 0,01 ⋅ x d x

Essa integral parece meio complicadinha de resolver né, gente? Bora usar o método das partes!

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

Fazendo:

u = x d v = e - 0,01 x

Então:

v = ∫ e - 0,01 x d x

=   - e - 0,01 x 0,01  

Substituindo na expressão do método das partes, teremos;

∫ 0 a x ⋅ e - 0,01 ⋅ x d x = x ⋅ - e - 0,01 x 0,01 0 a - ∫ 0 a - e - 0,01 x 0,01

= - a ⋅ e - 0,01 a 0,01 + - e - 0,01 x 0,01 2 0 a

= - a ⋅ e - 0,01 a 0,01 + 1 0,01 2 -   - e - 0,01 a 0,01 2

Show! Voltando ao limite:

E X = 0,01 ⋅ lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a x ⋅ e - 0,01 ⋅ x d x

= 0,01 ⋅ lim a → ∞ ⁡ - a ⋅ e - 0,01 a 0,01 + 1 0,01 2 -   - e - 0,01 a 0,01 2

Quando a tende a , todo termo e - 0,01 a = 1 e 0,01 a tende a zero. Assim:

E X = 0,01 ⋅ 1 0,01 2

= 100 milissegundos

Ou seja, o valor esperado para que a reação seja concluída vale X = 100   milissegundos.

Deu um trabalhinho bom nas contas, mas vocês conseguiram entender a essência do problema?

Passo 4

Pra finalizar, agora no item c) o problema mudou um pouco de contexto.

É dada uma nova variável Y que representa o tempo para que todo o experimento seja concluído, e é falado que:

Y = 11 X 3 + 7

Precisamos calcular E ( Y ) e V a r ( Y ) . Para fazer isso é importante relembrar algumas propriedades:

E a X + b = a ⋅ E X + b

E, também que:

V a r a X + b = a 2 ⋅ V a r ( X )

Perfeito!

Começando então pelo valor esperado, E ( Y ) , temos:

E Y = E 11 X 3 + 7

Usando a nossa propriedade, temos:

E Y = 11 3 ⋅ E X + 7

Como calculamos no passo anterior, E X = 100 . Assim:

E Y = 11 3 ⋅ 100 + 7

E Y = 373,67 milissegundos

Boaaa! A primeira parte já foi!

Agora vamos para a variância:

V a r Y = V a r 11 X 3 + 7

Pela propriedade:

V a r Y = 11 3 2 ⋅ V a r ( X )

Nossa missão então é calcular V a r ( X ) .

Vamos revisar outra formulinha bem importante:

V a r X = E X 2 - E X 2

Já conhecemos o valor de E ( X ) , precisamos apenas calcular E ( X 2 ) .

Pela definição de esperança, vamos ter:

E X 2 = ∫ - ∞ + ∞ x 2 ⋅ f x d x  

A nossa função de densidade é a mesma que calculamos no item b), então:

E X 2 =   ∫ 0 ∞ x 2 ⋅ 0,01 ⋅ e - 0,01 ⋅ x d x

= 0,01 ⋅ ∫ 0 ∞ x 2 ⋅ e - 0,01 ⋅ x d x

Novamente, temos uma integral imprópria. Usando a sua definição, ficaremos com:

E X 2 = 0,01 ⋅ lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a x 2 ⋅ e - 0,01 ⋅ x d x

Perfeito! Vamos então calcular essa integral!

Passo 5

Temos a integral:

∫ 0 a x 2 ⋅ e - 0,01 ⋅ x d x

Podemos usar novamente o truque do método das partes.

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

Fazendo:

u = x 2 d v = e - 0,01 x

Como também vimos no passo 2 , teremos:

v = - e - 0,01 x 0,01  

Substituindo tudo no método das partes:

∫ 0 a x 2 ⋅ e - 0,01 ⋅ x d x = x 2 ⋅ - e - 0,01 x 0,01 0 a - ∫ 0 a 2 x ⋅ - e - 0,01 x 0,01 d x

= x 2 �� - e - 0,01 x 0,01 0 a + 2 0,01 ⋅ ∫ 0 a x ⋅ e - 0,01 x d x  

Mas, olha que interessante! A integral:

∫ 0 a x ⋅ e - 0,01 x d x

É justamente aquela que calculamos no item b) para a esperança de x . E, temos que ela vale:

∫ 0 a x ⋅ e - 0,01 x d x = - a ⋅ e - 0,01 a 0,01 + 1 0,01 2 -   - e - 0,01 a 0,01 2

Assim, voltando em ∫ 0 a x 2 ⋅ e - 0,01 ⋅ x d x , temos:

∫ 0 a x 2 ⋅ e - 0,01 ⋅ x d x = x 2 ⋅ - e - 0,01 x 0,01 0 a + 2 0,01 ⋅ - a ⋅ e - 0,01 a 0,01 + 1 0,01 2 -   - e - 0,01 a 0,01 2

=   - a 2 ⋅ e - 0,01 a 0,01 + 2 0,01 ⋅ - a ⋅ e - 0,01 a 0,01 + 1 0,01 2 -   - e - 0,01 a 0,01 2

Tá feio, mas vai melhorar.

Aplicando o limite vamos ter:

lim a → ∞ ⁡ - a 2 ⋅ e - 0,01 a 0,01 + 2 0,01 ⋅ - a ⋅ e - 0,01 a 0,01 + 1 0,01 2 -   - e - 0,01 a 0,01 2

Novamente, todos os termos com e - 0,01 a irão zerar, e ficaremos apenas com:

2 0,01 ⋅ 1 0,01 2

Logo:

E X 2 = 0,01 ⋅ lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a x 2 ⋅ e - 0,01 ⋅ x d x

= 0,01 ⋅ 2 0,01 ⋅ 1 0,01 2

Assim:

E X 2 = 2 0,01 2

= 20000

Boaaa! Já tá acabando gente.

Lembrando que:

V a r X = E X 2 - E X 2

E que:

E X 2 = 20000 E X = 100

Temos:

V a r X = 20000 - 100 2

= 20000 - 10000

Portanto:

V a r X = 10000

Aí, agora é só correr pro abraço, pois:

V a r Y = 11 3 2 ⋅ V a r ( X )

= 121 9 ⋅ 10000

⇒ V a r Y = 134.444,4

E, é isso gente! A questão foi bem grandinha mesmo, mas terminamosss!

Vocês entenderam direitinho? Responde Aí!

Resposta

a) 0,86 ou 86 %

b) 100 milissegundos

c) E Y = 373,67 e V a r Y = 134444,4

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