Exercícios Resolvidos de Distribuição de Tamanho

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Enunciado

A análise granulométrica de uma amostra de minério de barita originário de Itaguaí-RJ é fornecida abaixo:

b) Elaborar o ajuste dos modelos de distribuição granulométrica GGS, Sigmóide e RRB e selecionar o mais adequado.

Passo 1

Temos os dados obtidos na peneiração de uma amostra e queremos calcular a curva y   v e r s u s   d por 3 modelos diferentes: GGS, Sigmóide e RRB.

Precisamos passar as designações Mesh Tyler das peneiras para diâmetro da abertura da peneira já que calcular os parâmetros de cada modelo, vamos precisar de pares ( d i , y i ).

Também vamos precisar das frequências X i , já que calculamos os y i da seguinte forma:

y i + 1 = y i - X i

Daí, bora calcular os X i :

X i = m i ∑ m i = m i m

Vamos precisar do ∑ m i :

∑ m i = 15,13 + 195,39 + 57,39 + 35,96 + 41,91 = 345,78   g

Agora podemos calcular o X i associado a cada faixa. Para a primeira, por exemplo, fica:

X 1 = 15,13 345,78 = 0,044

Aí, convertendo os M e s h   T y l e r para diâmetro e adicionando os X i   e   y i (com base no d i - ):

Repara que já coloquei X i e y i em base unitária para não nos confundirmos : )

Para calcular as curvas de distribuição de tamanho y   v e r s u s   d , só o que nos interessa são os pares ( d i ,   y i ). Vou destaca-los na tabela:

Bora calcular agora modelo por modelo as curvas y .

Passo 2

GGS: A curva desse modelo tem essa cara:

y = d k m

Como já vimos lá no tópico de distribuição de tamanhos, pra calcular os parâmetros, precisamos linearizar essa equação e fazer regressão linear. A forma linearizada fica:

ln ⁡ y = m * ln ⁡ d - m * ln ⁡ k

Fazendo uma tabela com os valores de l n   d e ln ⁡ y e fazendo regressão linear:

Comparando com a equação da reta, Y = A * X + B :

Y = ln ⁡ y A = m X = ln ⁡ d B = - m * ln ⁡ k

A = m = 0,5436

B = - m * ln ⁡ k = - 4,0604

Calculando o valor de k :

- 0,5436 * ln ⁡ k = - 4,0604   ∴ k = 1753,67  

Daí:

y = d 1753,67 0,5436

E lembra aí do R 2 = 0,9993 que veio da regressão linear.

Passo 3

Sigmóide: A curva desse modelo tem essa cara:

y = 1 1 + d k m

E a forma linearizada é:

ln ⁡ 1 y - 1 = - m * ln ⁡ d + m * ln ⁡ k

Daí:

Comparando com a equação da reta, Y = A * X + B :

Y = ln ⁡ 1 y - 1 A = - m X = ln ⁡ d B = m * ln ⁡ k

Daí:

y = 1 1 + d 231,17 1,3591

E lembra aí do R 2 = 0,928 que veio da regressão linear.

Passo 4

RRB: A curva desse modelo tem essa cara:

y = 1 - exp ⁡ - d k m

E a forma linearizada fica:

ln ⁡ ln ⁡ 1 1 - y = m * ln ⁡ d - m * ln ⁡ k

Comparando com a equação da reta, Y = A * X + B :

Y = ln ⁡ ln ⁡ 1 1 - y A = m X = ln ⁡ d B = - m * ln ⁡ k

Aí a curva y   v e r s u s   d fica:

y = 1 - exp ⁡ - d 506,49 0,8466

Comparando o R 2 entre os três modelos, o maior de todos é o GGS. Então, esse é o melhor modelo para representar essa amostra.

Resposta

G G S :   y = d 1753,67 0,5436

S i g m ó i d e :   y = 1 1 + d 231,17 1,3591

R R B :   y = 1 - exp ⁡ - d 506,49 0,8466

O modelo mais adequado para essa amostra é o GGS, já que está associado com o maior valor de R 2 .