Exercícios Resolvidos de Distribuição de Tamanho

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Enunciado

A peneiração de uma amostra de areia gerou a seguinte distribuição de tamanhos:

Pede-se:

  1. Dentre os modelos GGS, sigmóide e RRB, indicar qual melhor descreve a referida análise.

Passo 1

Nessa questão, ele deu pares ( y , d ) e pede qual o melhor modelo dentre o GGS, sigmóide e RRB. Vamos ter que avaliar o coeficiente de correlação depois de linearizar e jogar na calculadora: quanto mais próximo de 1 o coeficiente de correlação for, significa que melhor o tal modelo representa a amostra.

Vou trabalhar com o R 2 (se você preferir, pode usar o r; a ideia é a mesma).

Primeiro de tudo, temos que usar o y em base unitária em todas as contas, então, vou adicionar uma linha nessa tabela aí logo:

E, como eu te disse lá na teoria, vamos desprezar, para linearizações, pontos com y = 0 e pontos com y = 1 . Daí, vou cortar logo esse último ponto aí:

Bora ver agora um por um:

Passo 2

Primeiro, bora ver o GGS. A fórmula pra y no GGS é:

y = d k m

Linearizando, fica:

ln ⁡ y = m * ln ⁡ d - m * ln ⁡ k

Daí, vamos ter que montar uma tabelinha com ln ⁡ y e ln ⁡ d :

Como vimos na teoria, comparando essa nossa equação linearizada com a equação de uma reta, Y = a * X + b :

Y = ln ⁡ y a = m X = ln ⁡ d b = - m * ln ⁡ k

Daí, vamos fazer uma regressão linear com os pontos ( ln ⁡ y , ln ⁡ d ):

Para avaliar qual o melhor modelo pra representar uma amostra, só precisamos dessa informação aí de R 2 . Então guarda aí:

R 2   G G S = 0,9408

Passo 3

Vamos ver, agora, o Sigmóide. A fórmula dele pra y é:

y = 1 1 + d k m

Linearizando:

ln ⁡ 1 y - 1 = - m * ln ⁡ d + m * ln ⁡ k

Comparando com a equação de uma reta:

Y = ln ⁡ 1 y - 1 a = - m X = ln ⁡ d b = m * ln ⁡ k

Montando nossa tabelinha com Y e X :

Fazendo a regressão linear:

Guarda aí, também:

R 2 ( s i g m ó i d e ) = 0,9498

Passo 4

Falta só o RRB agora. Bora lá! A fórmula de y   para o RRB é:

y = 1 - exp ⁡ - d k m

Linearizando:

ln ⁡ ln ⁡ 1 1 - y = m * ln ⁡ d - m * ln ⁡ k

Comparando com a equação de uma reta:

Y = ln ⁡ ln ⁡ 1 1 - y a = m X = ln ⁡ d b = - m * ln ⁡ k

Fazendo a tabelinha com Y e X :

Fazendo a regressão linear:

Guarda aí:

R 2 ( R R B ) = 0,9974

Passo 5

O mais trabalhoso já foi. Agora é só comparar os R 2 dos 3 modelos.

R 2   G G S = 0,9408

R 2 ( s i g m ó i d e ) = 0,9498

R 2 ( R R B ) = 0,9974

Como R 2 ( R R B ) é o maior dentre os 3 , isto é, o mais próximo de 1 , o RRB é o melhor modelo pra representar ESSA AMOSTRA.

Resposta

RRB, pois o R 2 da sua linearização é o mais próximo de 1, ou seja, o maior dentre os modelos analisados.