Exercícios Resolvidos de Distribuição de Tamanho

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Enunciado

Estimar os parâmetros do modelo de Weibull para a seguinte amostra:

Passo 1

Nessa questão, temos uma tabela com pares ( y ,   d ), com o diâmetro em μ m , e é pedido para estimar os parâmetros do modelo Weibull para essa amostra. Bora lembrar da equação de y para esse modelo:

y = 1 - exp ⁡ - d - a k m

Os parâmetros dele são: a ,   m e k . Ou seja, 3 parâmetros para determinar.

Como vimos na teoria, uma reta tem 2 parâmetros então não dá pra linearizar o Weibull assim, com esses 3 parâmetros desconhecido. Mas se tivermos como determinar algum deles, conseguimos linearizar, já que só vão sobrar 2 parâmetros.

Passo 2

A primeira coisa pra fazer é determinar o a , que é o parâmetro que temos como estimar graficamente. Dessa forma, vão sobrar 2 parâmetros a determinar e aí conseguimos linearizar e fazer regressão linear para calcular m e k . Bora lançar esses pares ( y ,   d ) num gráfico:

Numa prova, você faria lançaria esses pontos num papel milimetrado.

Depois, o que temos que fazer é traçar a mão a curva y , passando por esses pontos. Daí, vemos a interseção da curva y com o eixo x , que é o eixo do diâmetro, e esse será o d m í n i m o , isto é, o parâmetro a . Vou fazer isso agora, dando um zoom nos pontos mais próximos desse d m í n i m o pra facilitar da gente enxergar o a :

Daí:

a ≈ 110   μ m

Passo 3

Agora que temos o a , só restam 2 parâmetros a determinar e aí conseguimos linearizar e fazer regressão linear. Como vimos na teoria, a forma linearizada da equação de Weibull, conhecido o a , é:

ln ⁡ ln ⁡ 1 1 - y = m * ln ⁡ ( d - a ) - m * ln ⁡ k

Comparando com a equação de uma reta, Y = A * X + B :

Y = ln ⁡ ln ⁡ 1 1 - y   A = m X = ln ⁡ d - a B = - m * ln ⁡ k

Daí, precisamos de uma tabela com os pares ( X ,   Y ), isto é, pares ( ln ⁡ ( d - a )   ,   ln ⁡ ln ⁡ 1 1 - y   ), lembrando que, na hora de linearizar, desprezamos pontos com y = 0 e/ou y = 1 .

Fazendo a regressão linear:

Daí:

A = m = 1,5271

E

B = - m * ln ⁡ k = - 9,4537

Substituindo o valor de m nessa ultima equação:

- 1,5271 * ln ⁡ k = - 9,4537

Cortando os menos e isolando ln ⁡ k :

ln ⁡ k   = 9,4537 1,5271

k = 488,15

E como os diâmetros estão em μ m :

k = 488,15   μ m

Resposta

a ≈ 110   μ m

m = 1,5271

k = 488,15   μ m