Exercícios Resolvidos de Distribuição Pascal

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Enunciado

O presidente de uma grande corporação toma decisões jogando dardos em um quadro. A seção central é marcada com “sim”, e representa um sucesso. A probabilidade de que ele acerte um “sim” é 0,6 . O presidente continua a jogar até que faça três acertos. A regra de decisão do presidente é simples: se ele faz três acertos no máximo até a quinta jogada, ele decide favoravelmente à questão.

  1. Calcule a probabilidade de que ele decida favoravelmente?
  2. Determine o valor esperado. Qual o seu significado no contexto do problema?

Passo 1

(a)

Pra ele decidir favoravelmente, ele tem que fazer 3 acertos em no máximo 5 tentativas.

Quando a gente quer relacionar número de tentativas com número de acertos a gente usa a distribuição Pascal, que tem a seguinte função:

P X = k = k - 1 r - 1 . p r . 1 - p k - r

k → número de tentativas.

r → número de acertos.

A gente sabe também que a probabilidade de sucesso é p = 0,6 .

Passo 2

Pra ele ser favorável então, a gente tem 3 situações. Ele pode acertar 3 acertos em 3 tentativas → k = r = 3 .

P X = 3 = 2 2 . 0,6 3 . 0,4 0

= 0,6 3

Pode acertar 3 em 4 tentativas → k = 4   e r = 3 .

P X = 4 = 3 2 . 0,6 3 . 0,4 1

= 1,2 × 0,6 3

Ou pode acertar 3 em 5 tentativas (que é o máximo) → k = 5 e r = 3 .

P X = 5 = 4 2 . 0,6 3 . 0,4 2

= 0,96 × 0,6 3

A probabilidade total dele ser favorável é então:

= 0,6 3 + 1,2 × 0,6 3 + 0,96 × 0,6 3

= 0,68

Passo 3

(b)

Para uma distribuição Pascal, E ( X ) é dado pela fórmula:

E X = r p

E X = 3 0,6

E X = 5

Que é o valor esperado de tentativas para que ele alcance o terceiro sucesso.

Resposta

a   0,68

b   5

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