Exercícios Resolvidos de Distribuição Pascal

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Enunciado

Suponha que um experimento biológico deva ser repetido no mínimo 4 vezes com sucesso para que seja validado. A cada dia só se pode realizar um experimento, que, em função de variações das condições do meio pode resultar em erro, anulando completamente tal tentativa. A chance de um experimento chegar até o fim sem sucesso é conhecida e igual a 80%. O pesquisador trabalhará todos os dias, inclusive finais de semana e feriados até validar o seu experimento.

a) Identifique o modelo probabilístico que modela a chance do experimento ser validado em x dias e apresente o valor esperado do número de dias que ele trabalhará.

b) Qual a probabilidade do pesquisador validar o seu experimento em exatos 4 dias?

c) Qual a chance dele demorar mais que 7 dias para validar o experimento?

Passo 1

a) Identifique o modelo probabilístico que modela a chance do experimento ser validado em x dias e apresente o valor esperado do número de dias que ele trabalhará.

Cara, ele fala pra gente sobre um experimento, que pode ter sucesso ou falha. Nisso você já fica ligado nas possíveis distribuições que envolvem esse tipo de situação.

Além disso, o experimento só vai ser validado após o 4º sucesso. Se você reparar nas letras b e c, ele pede pra gente calcular probabilidades do pesquisador validar o experimento após tantos dias/tentativas.

Oooou seja, quero que minha v.a. represente o número de tentativas para o 4º sucesso. Estamos em uma binomial negativa!

X ~ B i n N e g ( r = 4 , p = 0,20 )

Onde p é a probabilidade de sucesso e r o valor do último sucesso.

O valor esperado é dado por:

E X = r p = 4 0,2 = 20   d i a s

Passo 2

b) Qual a probabilidade do pesquisador validar o seu experimento em exatos 4 dias?

Queremos que o experimento seja validado em 4 dias, ou seja, X = 4 .

Aplicando na função de probabilidade da binomial negativa, temos:

P X = 4 = 4 - 1 4 - 1 ∙ p 4 ∙ ( 1 - p ) 4 - 4 = 3 ! 3 ! 3 - 3 ! ∙ 0,2 4 ∙ 0,8 0 = 0,0016 = 0,16 %

Passo 3

c) Qual a chance dele demorar mais que 7 dias para validar o experimento?

Queremos a probabilidade do pesquisador demorar mais que 7 dias, ou seja:

P ( X > 7 )

E sempre que você ficar em uma situação como essa, pense sempre no complementar!

P X > 7 = 1 - P X ≤ 7 = 1 - [ P X = 7 + P X = 6 + P X = 5 + P X = 4 ]

Note que não faz sentido considerar abaixo de X = 4 , já que ele precisa testar no mínimo 4 vezes!

Calculando as probabilidades que precisamos:

P X = 5 = 5 - 1 4 - 1 ∙ p 4 ∙ 1 - p 5 - 4 = 4 ! 3 ! 4 - 3 ! ∙ 0,2 4 ∙ 0,8 1 = 0,0051

P X = 6 = 6 - 1 4 - 1 ∙ p 4 ∙ ( 1 - p ) 6 - 4 = 5 ! 3 ! 5 - 3 ! ∙ 0,2 4 ∙ 0,8 2 = 0,0102

P X = 7 = 7 - 1 4 - 1 ∙ p 4 ∙ ( 1 - p ) 7 - 4 = 6 ! 3 ! 6 - 3 ! ∙ 0,2 4 ∙ 0,8 3 = 0,0164

Agora substituindo:

P X > 7 = 1 - 0,0016 + 0,0051 + 0,0102 + 0,0164 = 0,9667 = 96,67 %

Resposta

a) X ~ B i n N e g ( r = 4 , p = 0,20 )

E X = 20   d i a s

b) P X = 4 = 0,16 %

c) P X > 7 = 96,67 %

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