Exercícios Resolvidos de EDOs Homogêneas com Coeficientes Constantes

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Enunciado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t aumenta.

y ' ' + y ' - 2 ⋅ y = 0 ,     y 0 = 1 ,     y ' 0 = 1

Passo 1

Vamos começar então lembrando que devemos trocar nossa EDO pela equação auxiliar, certo? Onde trocamos

y ' ' → r 2

y ' → r

y → 1

Ficamos então com

r 2 + r - 2 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau teremos inicialmente para o delta

Δ = b 2 - 4 a c

Onde esses a ,   b ,   c são os termos da equação do segundo grau, na forma

a x 2 + b x + c = 0

Observamos então que

a = 1

b = 1

c = - 2

Tranquilo? Bora calcular nosso delta então

Passo 2

Bom, haverá duas soluções para nossa equação. Supondo então que nossa solução é dada por y = e r ⋅ t , temos que nossa solução geral será

y = c 1 ⋅ e r 1 ⋅ t + c 2 ⋅ e r 2 ⋅ t

e

y ' = c 1 ⋅ r 1 ⋅ e r 1 t + c 2 ⋅ r 2 ⋅ e r 2 t  

Ficando com y ' = r ⋅ e r ⋅ t e y ' ' = r 2 ⋅ e r ⋅ t . Substituindo em nossa EDO, temos que

r 2 + r - 2 ⋅ e r ⋅ t = 0

r 2 + r - 2 = 0

Caímos em uma equação de segundo grau. Resolvendo pelo método de Bhaskara, chegamos que

Δ = b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c

Δ = 1 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 2

Δ = 1 - - 8

Δ = 1 + 8 = 9

Presta atenção aqui que nosso delta é positivo. Teremos diferentes tipos de soluções de acordo com o delta, lembra? As possíveis soluções são

Δ > 0 → C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x

Δ < 0 → e a x C 1 cos ⁡ b x + C 2 s e n b x → r = a ± b i

Δ = 0 → C 1 e r x + C 2 x e r x

Já sabemos que nosso delta é positivo! Vamos agora calcular o valor de r .

r = - b ± Δ 2 ⋅ a = - 1 ± 9 2

r = - 1 2 ± 3 2

r 1 = - 1 2 + 3 2 ,     r 2 = - 1 2 - 3 2

r 1 = 1 ,     r 2 = - 2

Tendo como raízes r 1 = 1 e r 2 = - 2 . Assim, temos que nossa solução geral para a EDO dada é (já que o delta é maior que zero)

C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

Nós já temos os valores de r 1 e r 2 , então agora é só ser feliz substituindo no formato acima:

y = c 1 ⋅ e t + c 2 ⋅ e - 2 t

Passo 3

Aplicando as condições de contorno (para podermos descobrir os valores das constantes), temos

y 0 = 1 ,     y ' 0 = 1

Logo,

y = c 1 ⋅ e t + c 2 ⋅ e - 2 t

Para derivar isso vamos aplicar a regra do produto no produto com o c 1 e no produto com o c 2 .

y ' = c 1 ' e t + e t ' c 1 + c 2 ' e - 2 t + e - 2 t ' c 2

y ' = 0 e t + e t c 1 + 0 ' e - 2 t - 2 e - 2 t c 2

y ' = c 1 e t - 2 c 2 e - 2 t

Bora lá então, agora vamos substituir os valores iniciais pra descobrirmos o valor das constantes. O enunciado nos deu

y 0 = 1 ,    

Então temos

1 = c 1 e 0 + c 2 e 0 → c 1 + c 2 = 1

Lembrando que o exponencial de zero vale 1, certo??

Agora pra a derivada

y ' 0 = 1

1 = c 1 e 0 - 2 c 2 e 0 → c 1 - 2 c 2 = 1

Opa, temos duas equações e duas incógnitas! Isso significa que conseguimos descobrir o valor dessas constantes aí montando um pequeno sistema de equações:

c 1 + c 2 = 1 c 1 - 2 c 2 = 1

Se nós multiplicarmos a segunda equação por (-1), teremos

c 1 + c 2 = 1 - c 1 + 2 c 2 = - 1

Agora somamos as duas equações

+ c 1 + c 2 = 1 - c 1 + 2 c 2 = - 1

3 c 2 = 0

O que nos dá

c 2 = 0

Opa, já temos o valor de c 2 ,   então já podemos descobrir o c 1 ,   basta substituir em uma das duas equações que temos.

c 1 + c 2 = 1

c 1 + 0 = 1 → c 1 = 1

Passo 4

Maravilha! Já temos então o valor das duas constantes. Agora é só substituir na solução que tínhamos.

y = c 1 ⋅ e t + c 2 ⋅ e - 2 t

y = 1 e t + 0 e - 2 t

y = e t

Assim nossa equação que satisfaz a EDO é

y = e t

E o gráfico é algo desse tipo

onde com o aumento de t , y aumenta exponencialmente. Tranquilo???

Resposta

y = e t