Exercícios Resolvidos de EDOs Homogêneas com Coeficientes Constantes

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Enunciado

Escreva uma EDO de segunda ordem, linear, homogênea, com coeficientes constantes, com solução geral da forma x t = e 2 t C 1 cos ⁡ 3 t + C 2 sin ⁡ 3 t , onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias.

a x ' ' + 6 x ' + 13 x = 0

b x ' ' - 6 x ' + 13 x = 0

c x ' ' + 4 x ' + 13 x = 0

d x ' ' - 4 x ' + 13 x = 0

e x ' ' - 5 x ' + 6 x = 0

f Não existe EDO com as propriedades requeridas.

Passo 1

Montar a EDO a partir da solução é bem tranquilo! Lembra que temos 3 tipos de solução, certo?

Δ > 0 → C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x

Δ < 0 → e a x C 1 cos ⁡ b x + C 2 s e n b x → r = a ± b i

Δ = 0 → C 1 e r x + C 2 x e r x

Essas são as possíveis soluções a partir das EDOs homogêneas. Vamos dar uma olhada na cara da solução que temos

x t = e 2 t C 1 cos ⁡ 3 t + C 2 sin ⁡ 3 t

Opa, você vai concordar comigo que isso parece muito uma solução pra quando nosso Δ < 0 , não é verdade?

Nesse caso se você for comparar, teríamos a = 2 e b = 3 ,   certo?

Passo 2

Podemos então concluir que as raízes da equação auxiliar são:

r 1 = 2 + 3 i r 2 = 2 - 3 i

Passo 3

Agora tem um detalhe muito importante pra gente! Como eu monto uma equação do segundo grau a partir de suas raízes?

Uma equação do segundo grau ela tem a forma

r 2 - S r + P = 0

Agora vamos lembrar que S   é a soma das raízes e P   é o produto

Substituindo nossas raízes nesse formato da equação de segundo grau, nossa equação característica fica então:

r 2 - 2 + 3 i + 2 - 3 i r + 2 - 3 i 2 + 3 i = 0

Desenvolvendo, teremos:

r 2 - 4 r + 4 + 12 i - 12 i - 9 i 2 = 0

Vamos lembrar que i = - 1 ,   logo i 2 = - 1

r 2 - 4 r + 4 - ( 9 ∙ ( - 1 ) = 0

r 2 - 4 r + ( 4 + 9 ) = 0

r 2 - 4 r + 13 = 0

O que nos dá a EDO: x ' ' - 4 x ' + 13 x = 0

Então a correta é a letra d !

Resposta

Letra d