Exercícios Resolvidos de EDOs Homogêneas com Coeficientes Constantes

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Enunciado

Considere a equação diferencial y ' ' + y ' - c y = 0 . Qual o valor de c de modo a que a função y t = 3 t e - t 2 seja solução da equação diferencial?

(a) c = 0

(b) c = 2

(c) c = 1

(d) c = - 1

(e) c = - 1 / 4

Passo 1

Para encontrar o valor de c vamos jogar a função y ( t ) na EDO. Mas antes disso vamos encontrar as suas respectivas derivadas.

y t = 3 t e - t 2

A primeira derivada de y que é encontrada através da regra do produto que vai ser:

y ' t = 3 e - t 2 + 3 t e - t 2 - 1 2

Ajeitando um pouquinho mais:

y ' t = 3 - 3 2 t e - t 2

Passo 2

Fazendo agora a segunda derivada, temos que usar a regra do produto novamente:

y ' ' t = - 3 2 e - t 2 + 3 - 3 2 t e - t 2 - 1 2

⇒ y ' ' t = - 3 2 - 1 2 3 - 3 2 t e - t 2

⇒ y ' ' t = - 3 2 - 3 2 + 3 4 t e - t 2

E teremos:

⇒ y ' ' t = - 3 + 3 4 t e - t 2

Passo 3

Beleza, já temos nossas derivadas, então podemos jogar esses valores na equação, obtendo:

y ' ' + y ' - c y = 0

- 3 + 3 4 t e - t 2 + 3 - 3 2 t e - t 2 - c 3 t e - t 2 = 0

Para encontrar o valor de c , vamos jogar o termo que tem ele, para o outro lado da equação, e juntar os termos semelhantes do lado esquerdo colocando o e - t 2 em evidência:

- 3 + 3 4 t + 3 - 3 2 t e - t 2 = 3 c t e - t 2

- 3 4 t e - t 2 = 3 c t e - t 2

Como e - t 2 > 0 ,     t ∈ R então podemos cortar e - t 2 dos 2 lados, o que dá:

- 3 4 t = 3 c t

Também podemos cortar o 3 dos dois lados, ficando com

⇒   - 1 4 t = c t

Assim,

⇒ t = 0       o u     c = - 1 4

Passo 4

Repare que se t = 0 , podemos substituir na nossa equação diferencial:

y ' ' 0 = - 3 + 3 4 ( 0 ) e - 0 2 = - 3 + 0 e 0 = - 3

y ' 0 = 3 - 3 2 ( 0 ) e - 0 2 = 3 + 0 e 0 = 3

y 0 = 3 ( 0 ) e - 0 2 = 0 e 0 = 0

Portanto,

y ' ' 0 + y ' 0 - c y 0 = - 3 + 3 - 0 = 0

Ou seja, se t = 0 , a função y é solução da equação, não importando o valor de c , e não é isso que queremos!

Então para que y seja sempre solução da EDO, para qualquer valor de t , devemos ter c = - 1 4 .

Resposta

Alternativa (e)