Exercícios Resolvidos de EDOs Homogêneas com Coeficientes Constantes

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Enunciado

Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:

y ' ' t - 6 y ' t + 8 y t = 0 y 0 = 0 y ' 0 = 2

Passo 1

Vamos começar bem tranquilinho aqui, simplesmente colocando nossa EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = 0 :

y ' ' t - 6 y ' t + 8 y t = 0

Legal! A equação já está na forma que queremos e podemos usar a equação característica:

r 2 - 6 r + 8 = 0

Passo 2

Para resolver vamos encontrar a , b e c :

Comparando as equações:

a r 2 + b r + c = 0 r 2 - 6 r + 8 = 0

Logo:

a = 1 b = - 6 c = 8

Passo 3

Verificando o discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Lembra que dependendo do valor do delta, temos diferentes tipos de soluções? Só relembrando rapidinho aqui com você

Δ > 0 → C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x

Δ < 0 → e a x C 1 cos ⁡ b x + C 2 s e n b x → r = a ± b i

Δ = 0 → C 1 e r x + C 2 x e r x

Onde

Δ = b 2 - 4 a c

Pra nossa questão então temos

Δ = - 6 2 - 4 1 ( 8 )

⇒ Δ = 4

⇒ Δ > 0

Passo 4

Agora vamos encontrar as raízes da equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

1 r 2 - 6 r + 8 = 0

⇒ r 2 - 6 r + 8 = 0

Onde o cálculo das raízes é:

r = - b ± Δ 2 a = - ( - 6 ) ± 4 2 ( 1 )

r = 6 ± 2 2

r 1 = 6 + 2 2 ,     r 2 = 6 - 2 2

⇒ r 1 = 4 r 2 = 2

Passo 5

Show, agora colocamos essas raízes na solução:

y t = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t

Lembrando que esse será nosso tipo de solução por que inicialmente tínhamos o Δ > 0 .

Substituindo os valores de r :

y t = c 1 e 4 t + c 2 e 2 t

⇒ y t = c 1 e 4 t + c 2 e 2 t

Resolvido! Agora pra fechar bonito, precisamos descobrir os valores das constantes.

Passo 6

Resolvendo o PVI:

Teremos que calcular a derivada:

y ' t = 4 c 1 e 4 t + 2 c 2 e 2 t

Substituímos o t = 0

y 0 = c 1 e 4   ⋅ 0 + c 2 e 2 ⋅ 0

⇒ y 0 = c 1 + c 2

y ' 0 = 4 c 1 e 4 ⋅ 0 + 2 c 2 e 2 ⋅ 0

⇒ y ' 0 = 4 c 1 + 2 c 2

E colocamos os valores iniciais fornecidos:

y 0 = c 1 + c 2 = 0

y ' 0 = 4 c 1 + 2 c 2 = 2

Isso nos ajuda a encontrar um sistema do tipo:

c 1 + c 2 = 0 4 c 1 + 2 c 2 = 2

Vamos multiplicar a primeira equação por (-2). Concorda que assim quando formos somar as duas equações o termo c 2 vai sumir? E é isso que queremos.

- 2 c 1 - 2 c 2 = 0 4 c 1 + 2 c 2 = 2

Agora podemos somá-las.

+ - 2 c 1 - 2 c 2 = 0 4 c 1 + 2 c 2 = 2

2 c 1 = 2 → c 1 = 1

Agora só substituir o valor de c 1 em qualquer uma das duas equações pra achar o valor de c 2

c 1 + c 2 = 0

1 + c 2 = 0

c 2 = - 1

Logo:

c 1 = 1 c 2 = - 1

Agora é só substituir as constantes na solução geral:

y t = 1 e 4 t + - 1 e 2 t

⇒ y t = e 4 t - e 2 t

E partir pro abraço! rsrs

Resposta

y t = e 4 t - e 2 t