Exercícios Resolvidos de EDOs Homogêneas com Coeficientes Constantes

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Enunciado

Determine a solução geral y ( x ) da equação diferencial de segunda ordem

y ' ' + y = 0

Passo 1

Primeira coisa que vamos fazer aqui é colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = 0 :

y ' ' + y = 0

Show, a equação já está na forma que queremos! Agora podemos escrever no formato da equação auxiliar e adequar a resposta ao caso que encontrarmos.

Passo 2

Colocando a equação no formato da equação auxiliar temos que:

y ' ' = r 2

y = 1

Então, vamos trabalhar agora com a nossa nova equação:

r 2 + 1 = 0

Que é uma equação de 2 º grau.

Passo 3

Pra resolver essa equação, precisamos analisar quem é o nosso Δ , ou seja, verificar se: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 . Para isso, vamos lembrar do nosso amigo Bháskara, o qual usamos para encontrar as raízes da equação que está no formato:

a r 2 + b r + c = 0

Precisamos, então, encontrar a , b e c . Comparando as equações:

r 2 + 1 = 0 a r 2 + b r + c = 0

Logo:

a = 1 b = 0 c = 1

Passo 4

Já com os valores dos coeficientes em mãos podemos jogar na fórmula de Δ :

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = 0 2 - 4 1 ( 1 )

⇒ Δ = - 4

Ou seja,

⇒ Δ < 0

Passo 5

Como Δ < 0 , vamos trabalhar com raízes complexas pois:

r = - b ± Δ 2 . a

r = ( - 0 ) ± - 4 2.1 = ± - 4 2

Sendo que,

r = ± - 4 2 = ± - 1 × 4 2 = ± i × 2 2 = ± i

Pois,

i = - 1

Outra maneira de encontrar as raízes seria fazendo:

r 2 + 1 = 0

r 2 = - 1

r = ± i

Mas isso é para esse caso, na maioria das vezes precisamos usar Bhaskara. Então já adiantei para você

Passo 6

Show! Encontramos então que nossas raízes são:

r = ± i

Logo:

r = 0 ± 1 i

Comparando com,

r = α ± β i

Temos que

α = 0 β = 1

Passo 7

Agora podemos colocar no modelinho de resposta que já vem pronto e só precisamos substituir os valores encontrados:

y x = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 sen ⁡ β x

⇒ y x = e 0 x c 1 cos ⁡ 1 x + c 2 sen ⁡ 1 x

⇒ y x = c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x

Resposta

y x = c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x