Exercícios Resolvidos de EDOs Homogêneas com Coeficientes Constantes

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Enunciado

Sabe-se que y = C 1 cos ⁡ 2 t + C 2 sin ⁡ 2 t é a solução de y ' ' + a y ' + b y = 0 . Quanto valem a e b ?

a)   a = 4 e b = 0

b)   a = 2 e b = 4

c) a = 0 e b = 4

d)   a = 2 e b = 2

e)   a = 1 e b = 2

Passo 1

Olhando para a solução, vemos que se assemelha com a do terceiro caso, na qual Δ < 0 na equação auxiliar, beleza? Onde a solução deve ser:

y x = e α x C 1 cos ⁡ β x + C 2 sin ⁡ β x

Então vamos comparar com a solução dada,

y = C 1 cos ⁡ 2 t + C 2 sin ⁡ 2 t

Vemos que β = 2 e α = 0   pois,

e α x = e 0 x = 1

Então apesar de parecer que o e α x sumiu, na verdade ele está ali disfarçado de 1 ! 😉

Passo 2

Como Δ < 0 as raízes da equação auxiliar são:

r = α ± β i

r = 0 ± 2 i

E, para que isso aconteça, a equação característica é:

r 2 + 4 = 0

Pois,

r 2 = - 4

r = ± - 4 = ± 4 × - 1

r = ± 2 i

Passo 3

Agora temos que fazer o processo de passar da equação auxiliar para a equação diferencial, ou seja, colocar no formato de y novamente.

r 2 + 4 × 1 = 0

Onde temos que,

r 2 = y ' '

1 = y

Então,

y ' ' + 4 y = 0

Passo 4

Portando, comparando com a equação de solução dada:

y ' ' + a y ' + b y = 0

Temos que:

y ' ' + 0 y ' + 4 y = 0

a = 0

b = 4

Resposta

Letra c