Exercícios Resolvidos de Elementos de Lógica e Linguagem Matemática

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Enunciado

Para todas as afirmações a seguir n denota um número natural. Determine o conjunto verdade das seguintes proposições:

a   n 2 < 20

b   n - 4 n - 5 n - 6 = 0

c   2 n + 1 < 31   e   3 n + 2 > 8

Passo 1

FAAAAALA AÍ, pequeno gafanhoto! Tu lembra o que é conjunto verdade? É justamente o conjunto que contém os valores da variável que torna a proposição verdadeira!

Dito isso, bora começar pelo começo:

a   n 2 < 20

Bom, o enunciado diz que n é número natural, então nós vamos considerar apenas os números maiores ou iguais a zero! Dá uma olhada na galera que compõe esse conjunto:

N = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6 ,   7 ,   …

Como o nosso teto é 20 , não custa nada testar cada elemento do conjunto dos naturais para ver quais números obedecem a aquilo.

n = 0 → n 2 = 0 → 0 < 20

n = 1 → n 2 = 1 → 1 < 20

n = 2 → n 2 = 4 → 4 < 20

n = 3 → n 2 = 9 → 9 < 20

n = 4 → n 2 = 16 → 16 < 20

n = 5 → n 2 = 25 → 25 > 20

Pronto! Foi rápido! Então o conjunto verdade é:

{ 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 }

Passo 2

Dá uma olhada nessa:

b   n - 4 n - 5 n - 6 = 0

Bom, para ver o conjunto verdade, precisamos ver quais os valores que tornam a proposição verdadeira.

Ora bolas, se temos um produto com três parcelas sendo igual a 0 , quer dizer que ou:

n - 4 = 0 → n = 4

Ou:

n - 5 = 0 → n = 5

Ou:

n - 6 = 0 → n = 6

Ou pode ser os três sendo zero ao mesmo tempo. O importante aqui é perceber que esses são os números que tornam a nossa proposição verdadeira! Portanto, o conjunto verdade é:

4 ,   5 ,   6

Passo 3

Última, porém não menos importante:

c   2 n + 1 < 31   e   3 n + 2 > 8

Bom, aqui precisamos manipular essas inequações:

2 n + 1 < 31

2 n < 30

n < 15

Agora a próxima:

3 n + 2 > 8

3 n > 6

n > 2

Opa! Então estamos procurando por números naturais que sejam maiores que 2 e menores que 15 , já que:

2 < n < 15

Então o conjunto verdade:

{ 3,4 ,   5 ,   6 ,   7 ,   8 ,   9 ,   10 ,   11 ,   12 ,   13 ,   14 }

Resposta

a   0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4

b   { 4 ,   5 ,   6 }

c   { 3,4 ,   5 ,   6 ,   7 ,   8 ,   9 ,   10 ,   11 ,   12 ,   13 ,   14 }