Potência Complexa

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Teoria

Potência aparente

Vamos continuar estudando a potência em circuitos CA. No tópico anterior vimos que uma das fórmulas de potência média é:

P = V R M S I R M S cos ⁡ ( θ v - θ i )

Essa potência também é chamada de potência ativa ou potência real e também podemos escrevê-la assim:

P = S cos ⁡ ( θ v - θ i )

Onde,

S = V R M S I R M S

S é chamada de potência aparente e é medida em volt-ampères ou VA. Além disso, adivinha, o termo cos ⁡ ( θ v - θ i ) também tem um nome! Esse termo é chamado de fator de potência (FP).

F P = cos ⁡ ( θ v - θ i ) = P S  

Muitos nomes novos né?! Calma, vamos fazer um exemplo para você fixar. No circuito abaixo, vamos determinar a potência aparente S , o fator de potência e a impedância da carga Z L .

A potência aparente será:

S = V R M S I R M S

S = 10 2 × 5 2 = 50 2

S = 25   V A

Já o fator de potência será:

F P = cos ⁡ ( θ v - θ i )

F P = cos ⁡ ( 45 ° - 60 ° )

F P = cos ⁡ ( - 15 ° ) = 0,96     ( a d i a n t a d o )

Quando o ângulo do fator de potência ( θ v - θ i ) é negativo dizemos que o fator de potência está adiantado, porque a corrente está adiantada em relação à tensão.

Se o ângulo fosse positivo, o fator de potência estaria atrasado, porque a corrente estaria atrasada em relação à tensão.

Agora, precisamos calcular a impedância:

Z L = V I

Z L = V I = 10 ∠ 45 ° 5 ∠ 60 °

Z L = 2 ∠ - 15 °   Ω

Como podemos ver, o ângulo do fator de potência é igual ao ângulo da impedância. Além disso, ele é negativo, o que indica que a carga é predominantemente capacitiva.

Também poderíamos confirmar isso analisando a forma retangular:

Z L =   1,93 - j 0,517   Ω

Como Z L tem parte imaginária negativa consideramos que a carga é predominantemente capacitiva.

Vou fazer uma tabela esperta aqui para você não esquecer como é que funciona.

Potência complexa

Agora vamos juntar tudo o que a gente aprendeu. A potência complexa é importante porque ela contém praticamente todas as informações sobre a potência de um circuito. Como o próprio nome diz, ela é um número complexo e é definida da seguinte forma:

S = 1 2 V I *

Onde V = V m ∠ θ v e I = I m ∠ θ i . Ou seja: a potência complexa S que um carga absorve, é o produto da tensão com o conjugado da corrente

Passando para valores RMS:

S = 1 2 2 V R M S 2   I R M S *

S = V R M S I R M S *

Então, podemos escrever a equação acima assim:

S = V R M S I R M S ∠ ( θ v - θ i )

Passando para forma retangular:

S = V R M S I R M S cos ⁡ ( θ v - θ i ) + j V R M S I R M S sen ⁡ ( θ v - θ i )

Como podemos ver, a parte real de S é a potência ativa P em watts. Além disso, chamamos a parte imaginária de potência reativa Q , na qual a unidade é VAR (volt-ampére reativo). Ou seja:

P = V R M S I R M S cos ⁡ θ v - θ i         e       Q = V R M S I R M S sen ⁡ θ v - θ i

S = P + j Q

Além disso, podemos escrever a potência complexa em função da impedância complexa Z . Pela lei de Ohm

V R M S =   Z I R M S

Multiplicando pelo conjugado da corrente nos dois lados da equação, temos:

V R M S I R M S * =   Z I R M S I R M S *

S = Z I R M S 2

Lembrando que Z = R + j X , a equação acima fica assim:

S = ( R + j X ) I R M S 2

Portanto, a potência ativa P e reativa Q será:

P = R e S = R I R M S 2

Q = I m S = X I R M S 2

Além disso:

Q = 0   → C a r g a s     r e s i s t i v a s → F P   u n i t á r i o

Q < 0 → C a r g a s     c a p a c i t i v a s → F P   a d i a n t a d o

Q > 0 → C a r g a s   i n d u t i v a s → F P   a t r a s a d o

Partiu fazer um exemplo!

No circuito abaixo, vamos determinar as potências complexa e aparente; as potências real e reativa; o fator de potência e a impedância da carga.

Passo 1:

Primeiro vamos passar a tensão e a corrente para seus valores RMS:

V R M S = 120 2 ∠ 60 °       e       I R M S = 5 2 ∠ 30 °  

Então, aplicando a fórmula, a potência complexa será:

S = V R M S I R M S *

S = 120 2 ∠ 60 ° 5 2 ∠ - 30 °  

S = 300 ∠ 30 °   V A

A potência aparente é o módulo da potência complexa:

S = S = 300   V A

Passo 2:

Agora vamos escrever a potência complexa na forma retangular:

S = 300 cos ⁡ 30 + j sen ⁡ 30

S = 259,8 + j 150   V A

Como S = P + j Q , a potência ativa será:

P = 259,8   W

Já a reativa:

Q = 150   V A R

Passo 3:

O ângulo do fator de potência é o ângulo da impedância. Então, vamos calcular Z L primeiro. Pela lei de Ohm:

Z L = V I

Z L = 120 ∠ 60 ° 5 ∠ 30 ° = 24 ∠ 30 °   Ω

Portanto o fator de potência será:

F P = cos ⁡ 30 ° = 0,866   ( a t r a s a d o )

Como o ângulo da impedância é positivo, ela é uma impedância indutiva. Logo, o FP é atrasado. Também poderíamos concluir isso vendo que a potência reativa Q é positiva.

Além disso, o ângulo da impedância é igual ao ângulo da potência complexa. Então, poderíamos ter calculado o fator de potência primeiro, utilizando o ângulo da potência complexa.

Beleza! Antes de continuar vou fazer um resumão do que estudamos:

Também é muito comum representar S , P e Q na forma de um triângulo:

Esse triangulo é chamado de triângulo das potências e ajuda muito, pois sabendo as relações trigonométricas básicas chegamos à resposta sem precisar decorar fórmulas.

Potência complexa

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Para o sistema de potência da figura abaixo, determine:

  1. A potência média
  2. A potência reativa
  3. O fator de potência

Note que 220 V é um valor RMS.

Passo 1

Para calcular a potência média, precisamos lembrar da fórmula:

P = V R M S I R M S cos ⁡ θ

Já foi fornecido o valor da tensão. Precisamos, então, calcular o valor da corrente que passa no circuito e o ângulo do fator de potência.

Passo 2

Para calcular a corrente que passa pelo circuito, vamos utilizar a Lei de Ohm:

V = Z × I

No caso do circuito acima, como todas as impedâncias estão em paralelo, a tensão será:

V R M S = 220   V

Passo 3

Para calcular a corrente, falta ainda calcularmos a impedância equivalente do circuito. Como elas estão em paralelo:

Z e q 1 = 124 ∠ 0 ° × 20 - j 25 124 ∠ 0 ° + 20 - j 25

Z e q 1 = 124 ∠ 0 ° × 32,01 ∠ - 51,34 ° 124 + 20 - j 25

Z e q 1 = 3970,48 ∠ - 51,34 ° 144 - j 25

Z e q 1 = 3969,24 ∠ - 51,34 ° 146,15 ∠ - 9,85

Z e q 1 = 27,17 ∠ - 41,49 °   Ω

Passo 4

Para finalizar o cálculo da impedância equivalente total, temos que fazer o cálculo do paralelo de Z e q 1 com a impedância 90 + j 80 .

Z e q T o t a l = Z e q 1 90 + j 80

Z e q T o t a l = 27,17 ∠ - 41,49 ° × 90 + j 80 27,17 ∠ - 41,49 ° + 90 + j 80

Z e q T o t a l = 27,17 ∠ - 41,49 ° × 120,42 ∠ 41,63 ° 20,35 - j 18 + 90 + j 80

Z e q T o t a l = 3271,81 ∠ 0,14 ° 110,35 + j 62

Z e q T o t a l =   3271,81 ∠ 0,14 ° 126,57 ∠ 29,33 °

Z e q T o t a l = 25,85 ∠ - 29,19 °   Ω  

Lembrando que o ângulo do fator de potência é o ângulo da impedância, que, neste caso, será o da impedância total:

θ F P = - 29,19 °

cos ⁡ θ F P = 0,873

Passo 5

Finalmente, a corrente será:

I R M S = V R M S Z e q T o t a l

I R M S = 220 25,85 ∠ - 29,19 °

I R M S = 8,51 ∠ 29,19 °   A

Passo 6

Para calcular a potência média, colocamos os dados calculados na fórmula:

P = V R M S I R M S cos ⁡ θ

P = 220 × 8,51 × cos ⁡ ( - 29,19 ° )

P = 1634,44   W

Passo 7

Por fim, precisamos calcular a potência reativa:

Q = V R M S I R M S s e n   θ

Q = 220 × 8,51 × s e n ( - 29,19 ° )

Q = - 913,08   V A R

Se a gente analisar, o sinal da potência reativa deu negativo. Isso significa que a carga é predominantemente capacitiva.

Resposta

a )   P = 1634,44   W

b )   Q = - 913,08   V A R

c )   cos ⁡ θ F P = 0,873

Exercício Resolvido #2

Obtenha o fator de potência para cada um dos circuitos abaixo. Especifique se cada fator de potência está adiantado ou atrasado.

Passo 1

O fator de potência é o cosseno do ângulo da impedância equivalente do circuito. Logo, para o primeiro circuito, teremos que:

Z e q = { j 5 - j 2 ( - j 2 ) } + 4

Z e q = { j 3 ( - j 2 ) } + 4

Z e q = j 3 × - j 2 j 3 - j 2 + 4

Z e q = 6 ∠ 0 ° j 1 + 4

Z e q = 6 ∠ 0 ° 1 ∠ 90 ° + 4

Z e q = 6 ∠ - 90 ° + 4

Z e q = 4 - j 6

Z e q = 7,21 ∠ - 56,31 °   Ω

Passo 2

O fator e potência para o primeiro circuito, será, então:

cos ⁡ - 56,31 ° = 0,554

Como o ângulo da impedância equivalente deu um número negativo, o fator de potência está adiantado. Ou seja: a carga é predominantemente capacitiva.

Passo 3

Para o próximo circuito, vamos fazer os cálculos em etapas:

Z e q 1 = ( 4 + j 1 ) ( j 2 )

Z e q 1 = 4 + j 1 × j 2 4 + j 1 + j 2

Z e q 1 = 4,12 ∠ 14,04 ° × 2 ∠ 90 ° 4 + j 1 + j 2

Z e q 1 = 8,25 ∠ 104,04 ° 4 + j 3

Z e q 1 = 8,25 ∠ 104,04 ° 5 ∠ 36,87 °

Z e q 1 = 1,65 ∠ 67,17 °   Ω

Passo 4

Agora temos que calcular a impedância equivalente para a outra parte do circuito:

Z e q 2 = ( Z e q 1 ) + ( - j 1 )

Z e q 2 = ( 1,65 ∠ 67,17 ° ) + ( - j 1 )

Z e q 2 = 0,634 + j 1,52 - j 1

Z e q 2 = 0,634 + j 0,52

Z e q 2 = 0,82 ∠ 39,36 °   Ω

Passo 5

Finalmente:

Z e q T o t a l = ( Z e q 2 ) ( 1 )  

Z e q T o t a l = 0,82 ∠ 39,36 ° × 1 0,634 + j 0,52 + 1  

Z e q T o t a l = 0,82 ∠ 39,36 ° 1,634 + j 0,52

Z e q T o t a l = 0,82 ∠ 39,36 ° 1,71 ∠ 17,65 °

Z e q T o t a l = 0,478 ∠ 21,7 °   Ω

Passo 6

O fator e potência para o segundo circuito, será, então:

cos ⁡ 21,7 ° = 0,93

Como o ângulo da impedância equivalente deu um número positivo, o fator de potência está atrasado. Ou seja: a carga é predominantemente indutiva.

Resposta

Primeiro circuito: FP = 0,554 adiantado

Segundo circuito: FP = 0,93 atrasado

Exercício Resolvido #3

Para os fasores de tensão e corrente a seguir, calcule a potência complexa, a potência aparente, a potência real e a potência reativa. Especifique se o FP está adiantado ou atrasado.

  1. V = 220 ∠ 30 °   V   R M S ,   I = 0,5 ∠ 60 °   A   R M S
  2. V = 250 ∠ - 10 °   V   R M S ,   I = 6,2 ∠ - 25 °   A   R M S

Passo 1

Vamos começar pela letra a). Primeiro, vamos calcular a potência complexa, que é dada pela fórmula abaixo:

S = V R M S I R M S * = V R M S I R M S   ∠ θ v - θ i

S = 220 ∠ 30 ° × 0,5 ∠ - 60 °

S = 110 ∠ - 30 °   V A

Passo 2

Como foi estudado na teoria, a potência complexa também pode ser escrita nesta forma:

S = P + j Q

Logo, passando a potência complexa calculada no passo acima para a forma retangular:

S = 95,26 - j 55

Então, já temos os valores das potências real e reativa:

P = 95,26   W

Q = - 55   V A R

Passo 3

Para vermos se o ângulo do fator de potência está adiantado ou atrasado, temos que analisar o ângulo da potência complexa, já que:

θ F P = θ v - θ i

Então, analisando a potência complexa, podemos perceber que o ângulo do FP é:

θ F P = - 30 °  

Isso significa que o fator de potência está adiantado. Ou seja: a corrente está adiantada em 30 ° em relação à tensão.

Passo 4

Para a letra b) faremos a mesma análise:

S = V R M S I R M S * = V R M S I R M S   ∠ θ v - θ i

S = 250 ∠ - 10 ° × 6,2 ∠ 25 °  

S = 1550 ∠ 15 °   V A

Passo 5

Passando a potência complexa calculada no passo acima para a forma retangular:

S = 1497,18 + j 401,17

Então, já temos os valores das potências real e reativa:

P = 1497,18   W

Q = 401,17   V A R

Passo 6

Da mesma maneira, da potência complexa já é possível extrair o ângulo do FP:

θ F P = 15 °

Como o ângulo do fator de potência é um valor positivo, significa que o FP está atrasado. Ou seja: significa que a corrente está atrasada em 15° em relação à tensão.

Resposta

a )   S = 110 ∠ - 30 °   V A           P = 95,26   W           Q = - 55   V A r           F P   a d i a n t a d o    

b )   S = 1550 ∠ 15 ° V A           P = 1497,18   W           Q = 401,17   V A R             F P   a t r a s a d o    

Exercício Resolvido #4

Para o circuito inteiro abaixo, calcule:

a O fator de potência. b a potência média liberada pela fonte. ( c ) a potência reativa. ( d ) a potência aparente. ( e ) a potência complexa.

Passo 1

Vamos começar pela letra ( a ) . O primeiro passo é encontrar a impedância equivalente do circuito. Já que o seu ângulo será o ângulo do fator de potência. A impedância equivalente desse circuito será:

Z e q = 2 + 10 - j 5 8 + j 6

Z e q = 2 + 11,18 ∠ - 26,56 ° × 10 ∠ 36,87 ° 18 + j

Z e q = 2 + 111,8 ∠ 10,3 ° 18,02 ∠ 3,18 °

Z e q = 2 + 6,2 ∠ 7,12 °

Z e q = 2 + 6,15 + j 0,769

Z e q = 8,15 + j 0,769   Ω

Z e q = 8,19 ∠ 5,39 °   Ω

Portanto, o fator de potência será:

F P = cos ⁡ 5,39 °

F P = 0,995     a t r a s a d o

Lembrando que o fator de potência é atrasado porque o seu ângulo é positivo.

Passo 2

Na letra ( b ) temos que encontrar a potência média liberada pela fonte. Potência média é o mesmo que potência ativa e potência real, ou seja, é P .

Agora para achar a potência média nós precisamos descobrir a potência total e ela será:

S = V R M S 2 Z * = 16 2 8.188 ∠ - 5.382 = 31.265 ∠ 5.382   V A

Com isso a potência total (ou aparente):

S = 31.265   V A

A fonte de 16   V está em RMS.

P = S cos ⁡ θ = 31.265 × 0.9956 = 31.13   W

Passo 3

Para encontrar a potência reativa e aparente é só lembrar do triângulo das potências.

Com isso a potência reativa será:

Q = S sin ⁡ θ = 31.265 × 1 - 0.9956 2 = 2.93   V A R

Passo 4

Como cos ⁡ ( θ ) = P / S , a potência aparente será:

Com isso a potência total (ou aparente), como foi efetuado o calculo no passo 2, temos

S = 31.265   V A

Passo 5

Como foi estudado na teoria, a potência complexa pode ser escrita nesta forma:

S = P + j Q

Logo, substituindo as potências calculadas nos passos acimas:

S = 31.13 + j 2.93 V A

Resposta

a )   F P = 0.9956

b )   P = 31.13   W

c )   Q = 2.93   V A R

d )   31.265   V A

e )   S = 31.13 + j 2.93 V A

Exercício Resolvido #5

Uma fonte de 110 V RMS, 60 Hz é aplicada a uma impedância de carga Z . A potência aparente entrando na carga é de 120 VA com um fator de potência 0,707 atrasado.

  1. Calcule a potência complexa.
  2. Determine a corrente RMS fornecida para a carga.
  3. Determine Z .
  4. Supondo que Z = R + j ω L , determine os valores de R e L .

Passo 1

A potência complexa tem a seguinte fórmula:

S = V R M S I R M S ∠ θ v - θ i

Sabemos que a potência aparente é 120 VA e sua formula é

S = V R M S I R M S

Logo,

S = V R M S I R M S = 120   V A

Além disso, o ângulo do fator de potência é o ângulo da potência complexa, então

cos ⁡ θ v - θ i = 0,707

θ v - θ i = ± 45 °

Como o enunciado disse que o fator de potência é atrasado, a carga é predominantemente indutiva e o ângulo é positivo. Portanto,

θ v - θ i = 45 °

Substituindo, temos que a potência complexa é

S = 120 ∠ 45 °   V A

Passo 2

Para determinar a corrente é só aplicar a formula abaixo:

S = V R M S I R M S = 120   V A

Como V R M S = 110   V ,

I R M S = 120 110

I R M S = 1,09   A

Passo 3

Nós já sabemos o ângulo da impedância Z , já que ele é igual ao ângulo da potência complexa S . Então, só falta a gente calcular o módulo da impedância. Pela lei de Ohm:

Z = V R M S I R M S

Substituindo os valores:

Z = 110 1,09

Z = 100,9   Ω

Logo a impedância Z será:

Z = 100,9 ∠ 45 °   Ω

Passo 4

Agora, precisamos calcular os valores de R e L . Para isso, vamos passar a impedância para forma retangular:

Z = 71,35 + j 71,35   Ω

Comparando com Z = R + j ω L , temos:

R = 71,35   Ω

ω L = 71,35   Ω

Para terminar precisamos encontrar a frequência angular ω para substituirmos o seu valor e encontrar L . Como a frequência da fonte é 60 Hz, temos:

ω = 2 π f

ω = 377   r a d / s

Então, a indutância será:

L = 71,35 377

L = 0,189   H

Resposta

a )   S = 120 ∠ 45 °   V A

b ) I R M S = 1,09   A

c )   Z = 100,9 ∠ 45 °   Ω

d )   R = 71,35   Ω       e       L = 0,189   H

Exercício Resolvido #6

Determine a potência complexa liberada por v s para o circuito da figura. Seja v s = 100 cos ⁡ 2000 t V

Passo 1

Vamos começar separando os dados:

v s = 100 ∠ 0 °   V  

ω = 2000   r a d / s

Agora vamos calcular as impedâncias no domínio da frequência:

Para o indutor:

j ω L = j ( 2000 ) ( 60 × 10 - 3 )

(lembrando que tudo tem que estar no Sistema Internacional)

j ω L = j 120 Ω

Para o capacitor:

1 j ω C = 1 j 2000 40 × 10 - 6

1 j ω C = - j 12.5 Ω

Passo 2

Agora vamos redesenhar o circuito com os valores encontrados no passo 1

Passo 3

Vamos então aplicar a Lei das Correntes de Kirchhoff ao único nó do circuito (vamos chamar sua tensão de V o ) para encontrar o i x a partir da Lei de Ohm, veja:

0 = V o - 100 ∠ 0 ° 30 - j 12.5 + V o - 4 i x 20 + V o j 120

Mas… quem é   i x ?

Pela Lei de Ohm, i x = V o j 120 , então, substituindo isso na equação anterior…

0 = V o - 100 ∠ 0 ° 30 - j 12.5 + V o - 4 V o j 120 20 + V o j 120

1 30 - j 12.5 + 1 - 4 j 120 20 + 1 j 120 V o = 100 ∠ 0 ° 30 - j 12.5

0.0284 + j 0.0118 + 1 + j 0.033 20 - j 0.00833   V o = 2.48 + j 1.183

0.0784 + j 0.00512 V o = 2.48 + j 1.183

V o = 37.05 + j 12.7 V

V o = 39.15 ∠ 18.87 °

Passo 4

Agora, a corrente da fonte será:

I o = V s - V o 30 - j 12.5 = 100 - 39.15 ∠ 18.87 ° 30 - j 12.5 = 1.937 + j 0.385 A

Passo 5

Podemos então, calcular nossa potência complexa:

S = 1 2 V s I o *

S = 1 2 100   ( 1.937 - j 0.385 )

S = 96.85 - j 19.25 V A

Resposta

S = 96.85 - j 19.25 V A

Exercício Resolvido #7

No circuito da figura, o dispositivo A recebe 2 k W com F P = 0.8 ( a t r a s a d o ) , o dispositivo B recebe 3 k V A com F P = 0.4 ( a d i a n t a d o ) , enquanto o dispositivo C é indutivo e consome 1 k W e recebe 500 V A r .

(a) Determine o fator de potência para o sistema todo.

(b) Calcule I dado que V s = 120 ∠ 45 °   V r m s .

Passo 1

Vamos calcular nossas potências aparentes para cada dispositivo sabendo que S = P c o s θ .

A:

S 1 = 2000 0.8 = 2500 V A

Então,

S 1 = S 1 ∠ c o s - 1 ( 0.8 )

S 1 = 2500 ∠ 36.87 °   V A

B:

S 2 = S 2 ∠ c o s - 1 ( 0.4   a d i a n t a d o )

S 2 = 3000 ∠ - 66.42 °   V A

C:

S 3 = P 3 + j Q 3

S 3 = 1000 + j 500

S 3 = 1118.03 ∠ 26.56 °   V A

Passo 2

Somando tudo:

S r = S 1 + S 2 + S 3

S r = 2500 ∠ 36.87 ° + 3000 ∠ - 66.42 ° + 1118.03 ∠ 26.56 °  

S r = 4266.50 ∠ - 10.119 °   V A

Passo 3

Agora vamos a letra (a)

O F P será:

F P = c o s θ

F P = c o s ( 10.119 ° )

F P = 0.9844   a d i a n t a d o (pois o ângulo é negativo)

Passo 4

E por fim, a letra (b)

Como V s = 120 ∠ 45 °   V r m s

Sabemos que S r = V s I *

Então,

4266.50 ∠ - 10.119 °   =   ( 120 ∠ 45 ° ) I *

I * = 4266.50 ∠ - 10.119 ° 120 ∠ 45 °  

I * = 35.554 ∠ - 55.119 °   A r m s

I = 35.554 ∠ 55.119 °   A r m s

Resposta

(a) F P = 0.9844   a d i a n t a d o

(b) I = 35.554 ∠ 55.119 °   A r m s

Exercício Resolvido #8

Um motor CA com impedância Z L = 4.2 + j 3.6 Ω é alimentado por uma fonte de 220 V ,   60 H z

(a) Determine FP, P e Q.

(b) Determine o capacitor necessário para ser conectado em paralelo com o motor de modo que o fator de potência seja corrigido para a unidade.

Passo 1

Para calcular o FP, vamos primeiro passar a impedância para a forma polar para facilitar as contas:

Z L = 4.2 + j 3.6 ⇒ 5.53 ∠ 40.6 ° Ω

Então, o Fator de Potência será:

F P = c o s ( 40.6 ° )

F P = 0.7592

Passo 2

Agora, para calcular as potências ativa (P) e reativa (Q), vamos primeiro achar a potência aparente (S):

S = V r m s 2 Z * , onde Z* é o conjugado, ou seja, basta trocar o sinal do ângulo (ou da parte imaginária)

S = ( 220 ) 2 5.53 ∠ - 40.6 ° = 8.74952 ∠ 40.6 °

Passando a potência aparente para a forma retangular, teremos S = 6.64313 + j 5.69411 k V A

Sabemos que a Potência Ativa é a parte real e a Potência Reativa é a parte imaginária, então basta separar.

P = R e ( S ) = 6.64313 k W

Q = I m ( S ) = 5.69411 k V A r

Passo 3

Para corrigir o Fator de Potência para FP =1, ou seja, Potência Reativa nula, vamos adicionar um banco de capacitores e é isso que queremos dimensionar; qual o tamanho do capacitor?

É assim:

Q = V r m s × I C , onde I C é a corrente do capacitor que é I C = V r m s X C

E X C = 1 ω × C

Juntando as três, chegamos em C = Q C ω V r m s 2 , onde Q C = Q a n t e s - Q d e p o i s

Mas… quem é Q a n t e s ?

Q a n t e s   = S a n t e s × s e n θ a n t e s

s e n θ a n t e s = s e n ( 40.6 ° ) = 0.6507

Então,

Q a n t e s   = 5.6933 k V A r

Q d e p o i s   = 0 k V A r

Então, como ω = 2 π × 60

C = 5.6933 376.9911 ×   ( 220 ) 2

C = 312 μ F

Resposta

(a) F P = 0.7592

(b) C = 312 μ F

Exercício Resolvido #9

No circuito da figura, o dispositivo A recebe 2 k W com F P = 0.8 ( a t r a s a d o ) , o dispositivo B recebe 3 k V A com F P = 0.4 ( a d i a n t a d o ) , enquanto o dispositivo C é indutivo e consome 1 k W e recebe 500 V A r .

(a) Determine o fator de potência para o sistema todo.

(b) Calcule I dado que V s = 120 ∠ 45 °   V r m s .

Passo 1

Vamos calcular nossas potências aparentes para cada dispositivo sabendo que S = P c o s θ .

A:

S 1 = 2000 0.8 = 2500 V A

Então,

S 1 = S 1 ∠ c o s - 1 ( 0.8 )

S 1 = 2500 ∠ 36.87 °   V A

B:

S 2 = S 2 ∠ c o s - 1 ( 0.4   a d i a n t a d o )

S 2 = 3000 ∠ - 66.42 °   V A

C:

S 3 = P 3 + j Q 3

S 3 = 1000 + j 500

S 3 = 1118.03 ∠ 26.56 °   V A

Passo 2

Somando tudo:

S r = S 1 + S 2 + S 3

S r = 2500 ∠ 36.87 ° + 3000 ∠ - 66.42 ° + 1118.03 ∠ 26.56 °  

S r = 4266.50 ∠ - 10.119 °   V A

Passo 3

Agora vamos a letra (a)

O F P será:

F P = c o s θ

F P = c o s ( 10.119 ° )

F P = 0.9844   a d i a n t a d o (pois o ângulo é negativo)

Passo 4

E por fim, a letra (b)

Como V s = 120 ∠ 45 °   V r m s

Sabemos que S r = V s I *

Então,

4266.50 ∠ - 10.119 °   =   ( 120 ∠ 45 ° ) I *

I * = 4266.50 ∠ - 10.119 ° 120 ∠ 45 °  

I * = 35.554 ∠ - 55.119 °   A r m s

I = 35.554 ∠ 55.119 °   A r m s

Resposta

(a) F P = 0.9844   a d i a n t a d o

(b) I = 35.554 ∠ 55.119 °   A r m s

Exercício Resolvido #10

Determine a potência complexa liberada por v s para o circuito da figura. Seja v s = 100 c o s ( 2000 t ) V .

Passo 1

Vamos começar separando os dados:

v s = 100 ∠ 0 ° V

ω = 2000 r a d / s

Agora vamos calcular as impedâncias no domínio da frequência:

Para o indutor:

j ω L = j ( 2000 ) ( 60 × 1 0 - 3 )

(lembrando que tudo tem que estar no Sistema Internacional)

j ω L = j 120 Ω

Para o capacitor:

1 j ω C = 1 j ( 2000 ) ( 40 × 1 0 - 6 )

1 j ω C =   - j 12.5 Ω

Passo 2

Agora vamos redesenhar o circuito com os valores encontrados no passo 1

Passo 3

Vamos então aplicar a Lei das Correntes de Kirchhoff ao único nó do circuito (vamos chamar sua tensão de V o ) para encontrar o i x a partir da Lei de Ohm, veja:

0 = V o - 100 ∠ 0 ° 30 - j 12.5 + V o - 4 i x 20 + V o j 120

Mas… quem é i x ?

Pela Lei de Ohm, i x = V o j 120 , então, substituindo isso na equação anterior…

0 = V o - 100 ∠ 0 ° 30 - j 12.5 + V o - 4 V o j 120 20 + V o j 120

1 30 - j 12.5 + 1 - 4 j 120 20 + 1 j 120 V o = 100 ∠ 0 ° 30 - j 12.5

0.0284 + j 0.0118 + 1 + j 0.033 20 - j 0.00833 V o = 2.48 + j 1.183

0.0784 + j 0.00512 V o = 2.48 + j 1.183

V o = 37.05 + j 12.7 V

V o = 39.15 ∠ 18.87 °

Passo 4

Agora, a corrente da fonte será:

I o = V s - V o 30 - j 12.5 = 100 - ( 39.15 ∠ 18.87 ° 30 - j 12.5 = 1.937 + 0.385 A

Passo 5

Podemos então, calcular nossa potência complexa:

S = 1 2 V s I o *

S = 1 2 ( 100 ) ( 1.937 - j 0.385 )

S = 96.85 - j 19.25 V A

Resposta

S = 96.85 - j 19.25 V A

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