Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

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Enunciado

Calcule:

a   A 10 para A = 1 0 - 1 2

b   A para A = 13 14 4 14 24 18 4 18 29

Passo 1

a   Para elevar uma matriz a um expoente precisamos diagonalizar ela, então vamos lá.

A - λ I = 1 - λ 0 - 1 2 - λ

det ⁡ A - λ I = p λ = 1 - λ 2 - λ = 0 ⇒

λ = 1   o u   λ = 2

Dazendo algumas contas achamos que os autoespaços são:

Para λ = 1 :

V λ = 1 = s p a n 1,1

E para λ = 2 :

V λ = 2 = s p a n 0,1

Passo 2

Assim, a matriz diagonal fica:

D = 1 0 0 2

E a matriz dos autovetores e a sua inversa:

P = 1 0 1 1

P - 1 = 1 0 - 1 1

Agora fica fácil de elevar a matriz a 10 :

A 10 = P D 10 P - 1 ⇒

A 10 = 1 0 1 1 ⋅ 1 10 0 0 2 10 ⋅ 1 0 - 1 1 ⇒

A 10 = 1 0 - 1023 1024

Passo 3

b   Caramba, raíz quadrada de uma matriz?? Como assim??? Lembre-se que calcular a raiz quadrada de qualquer coisa é elevar a 1 2 , logo estamos elevando a matriz a um expoente e assim podemos aplicar a mesma ideia da letra a .

Vamos calcular os autovalores de A :

A - λ I = 13 - λ 14 4 14 24 - λ 18 4 18 29 - λ

det ⁡ A - λ I = - λ 2 3 + 66 × λ 2 - 849 × λ + 784 = 0

λ = 1   o u   λ = 16   o u   λ = 49

Fazendo algumas contas podemos ver que os autoespaços são:

Para λ = 1 :

V λ = 1 = s p a n 2 , - 2,1

Para λ = 16 :

V λ = 16 = s p a n - 1 , - 1 2 , 1

Para λ = 49 :

V λ = 49 = s p a n 1 2 , 1,1

Passo 4

Antes de avançar vamos botar aqui a matriz dos autovalores e dos autovetores:

P = 2 - 1 1 2 - 2 - 1 2 1 1 1 1

D = 1 0 0 0 16 0 0 0 49

P - 1 = 2 9 - 2 9 1 9 - 4 9 - 2 9 4 9 2 9 4 9 4 9

A = P D P - 1 ⇒

A = 2 - 1 1 2 - 2 - 1 2 1 1 1 1 ⋅ 1 0 0 0 16 0 0 0 49 ⋅ 2 9 - 2 9 1 9 - 4 9 - 2 9 4 9 2 9 4 9 4 9 ⇒

A = 3 2 0 2 4 2 0 2 5

Resposta

a   A 10 = 1 0 - 1023 1024

b   A = 3 2 0 2 4 2 0 2 5

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