Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

Curso Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações Terceira Edição, Marco Cabral e Paulo Goldfeld, página 214 e 211 Prob. 7.15 a), Prob. 7.15 c)

Calcule:

Equation para Equation

Equation para Equation

Passo 1

Equation Para elevar uma matriz a um expoente precisamos diagonalizar ela, então vamos lá.

Equation

Equation

Equation

Dazendo algumas contas achamos que os autoespaços são:

Para Equation

Equation

E para Equation :

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, a matriz diagonal fica:

Equation

E a matriz dos autovetores e a sua inversa:

Equation

Equation

Agora fica fácil de elevar a matriz a Equation :

Equation

Equation

Equation

Passo 3

Equation Caramba, raíz quadrada de uma matriz?? Como assim??? Lembre-se que calcular a raiz quadrada de qualquer coisa é elevar a Equation , logo estamos elevando a matriz a um expoente e assim podemos aplicar a mesma ideia da letra Equation .

Vamos calcular os autovalores de Equation :

Equation

Equation

Equation

Fazendo algumas contas podemos ver que os autoespaços são:

Para Equation :

Equation

Para Equation :

Equation

Para Equation :

Equation

Passo 4

Antes de avançar vamos botar aqui a matriz dos autovalores e dos autovetores:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Resposta

Equation

Equation

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