Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

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Enunciado

Considere as afirmativas abaixo:

I -     Se λ é autovalor de A , então λ é autovalor de A 2

I I - Se v → é autovetor de A , então v →   é autovetor de A 2

(a) Ambas são falsas

(b)   I é verdadeira e I I é falsa

(c)   I   é   f a l s a   e   I I   é   v e r d a d e i r a

(d)   Ambas são verdadeiras

Passo 1

Lembra como elevamos uma matriz ao quadrado?

Diagonalizamos e elevamos apenas a matriz D , dos autovalores, dessa forma:

A = P D P - 1

A 2 = P D 2 P - 1

Ou seja, vamos supor que minha matriz D tem essa cara:

D = λ 1 0 0 λ 2

Quando elevada ao quadrado vai ficar:

D = λ 1 2 0 0 λ 2 2

Ou seja, meus autovalores mudaram, agora são os autovalores antigos ao quadrado! Assim, minha primeira afirmativa é falsa!

Passo 2

Para analisar a segunda afirmativa, vamos voltar a dar uma olhada na forma diagonalizada ao quadrado:

A = P D P - 1

A 2 = P D 2 P - 1

Repara que a matriz P e consequentemente a matriz P - 1 não mudam. Essas são as matrizes formadas pelos autovetores, assim podemos chegar a conclusão que os autovetores permanecem os mesmos!

Dessa forma, a segunda afirmativa é verdadeira.

Resposta

c

Exercícios de Livros Relacionados

Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .
Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .