Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

UFRJ, Álgebra Linear, P3 - 2014.1, Questão 07

Seja Equation uma matriz Equation . Assinale a alternativa FALSA:

Equation Se Equation então os autovalores de Equation só podem ser Equation ou Equation

Equation Se as colunas de Equation são linearmente independentes então zero não é um autovalor de Equation

Equation Se Equation então zero é autovalor de Equation

Equation Se Equation então o único autovalor de Equation é Equation

Passo 1

Vamos letra por letra:

Letra Equation

Se Equation então os autovalores de Equation tem que ser obrigatoriamente iguais aos de Equation . E temos que:

Equation

Equation

Onde Equation é a matriz diagonal de autovalores. Logo, para que Equation , precisamos que Equation para todos os autovalores da matriz. O único jeito de isso acontecer é se os autovalores forem Equation ou Equation . Essa é verdadeira.

Letra Equation

Como Equation é quadrada, suas colunas serem Equation implica em Equation ser injetiva, ou seja, Equation . Como o núcleo de Equation é igual a Equation não há autoespaço associado ao Equation . Logo, ele não é autovalor de Equation .

Letra Equation

Como Equation é quadrada, Equation , logo, existe um autoespaço associado ao Equation e ele é autovalor de Equation .

Letra Equation

Se Equation , por lógica análoga à da letra Equation precisamos que os autovalores de Equation ao quadrado sejam iguais a Equation (autovalor de Equation ). Logo:

Equation

Equation

Então essa é falsa, Equation também pode ter autovalor Equation .

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Resposta

Letra Equation

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