Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

UFRJ, Álgebra Linear, P4 - 2014.1, Questão 02

Seja Equation uma matriz Equation . Sabendo que Equation então os únicos autovalores possíveis de Equation são:

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 1

Têm-se Equation , então os autovalores de Equation são necessariamente iguais aos autovalores de Equation certo? Caso contrário elas não seriam iguais :p

Se escrevermos a matriz na forma diagonalizada, temos:

Equation

Equation

Como a matriz Equation é uma matriz diagonal com os autovalores de Equation , elevar Equation ao cubo é simplesmente elevar os autovalores de Equation ao cubo. E para que a igualdade Equation seja válida, precisamos que:

Equation

Onde Equation é qualquer autovalor da matriz. Logo, temos:

Equation

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Resposta

Letra Equation

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