Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

PUCRIO, Álgebra Linear I - MAT1200, P3 - 2018.2, Questão 4

Seja Q uma matriz ortogonal Equation

(a) Considere a matriz Equation onde

Determine explicitamente Equation

(b) Determine os autovalores da matriz Equation onde

Passo 1

(a) Sabemos que:

Equation

E Equation é a matriz Equation multiplicada por ela mesma 501 vezes!!!!

Pra questão ter pedido algo desse tipo, é porque com certeza vai aparecer algum padrão enquanto fazemos essas multiplicações, então não se assustem!

Vamos começar a multiplicar C por ela mesma:

Ou seja, a partir de agora, sempre que multiplicarmos por C de novo vamos obter a matriz nula.

Então:

E:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) Vamos dizer que:

Equation

Lembra que o enunciado disse que Q é ortogonal??

Isso significa que:

Equation

Então:

Equation

Por isso, pela definição, a matriz A é semelhante a matriz B.

E duas matrizes semelhantes tem os mesmos autovalores.

Logo, achar os autovalores de Equation é a mesma coisa que achar os autovalores de B.

Como temos a matriz B, vamos calcular os autovalores dela.

Fazendo que:

Equation

Ficamos com:

Equation

E achamos os autovalores:

Equation

Equation

Equation

Resposta

(a)

(b) Equation , Equation e Equation

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