Exercícios Resolvidos de Energia de Deformação

Prova 1 - 2016.1 - Prof. Roberto - Resistência dos Materiais 1 - UFRJ

Uma barra rígida A B de comprimento L e peso W é mantida a 45 ° apoiada em uma escora C D de comprimento 0,5 L . A escora é posicionada de modo a receber a menor força de compressão possível. Desprezar o peso da escora e supor que A , C e D funcionem como apoios simples. Calcular:

( i ) o ângulo θ para o qual a força F C D na escora é mínima;

( i i ) a força F C D mínima;

( i i i ) a área da seção transversal da escora, sendo σ a d m a tensão admissível do material da mesma;

( i v ) o encurtamento δ D da escora;

( v ) a energia de deformação acumulada.

Dica do Expert: Em um momento desse exercício, pode ser útil lembrar que s e n ( 2 x ) = 2 sen x cos x e que c o s 2 x = c o s 2 x - s e n 2 x . (Essas duas fórmulas vêm das fórmulas para seno e cosseno de a + b .)

Passo 1

O que está acontecendo?

O momento gerado pelo peso W da barra rígida A B é equilibrado pelo momento gerado pela força F C D que a escora faz na barra:

Daí que, pelo princípio da ação e reação, a barra vai reagir à força F C D feita nela pela escora com uma força de compressão na escora de mesma intensidade F C D :

E o que é que o exercício quer?

Nos itens ( i ) e ( i i ) , o exercício quer que a gente analise essa força F C D , para que depois, a gente use ela para calcular outros valores nos itens ( i i i ) , ( i v ) e ( v ) .

Daí que o grande desafio desse exercício é encontrar uma expressão para a força F C D .

Para fazer isso, vamos ter que aplicar as condições de equilíbrio na barra A B , o que vai nos dar um tanto de trabalho uma vez que o braço e a direção de F C D dependem do ângulo θ .

Depois que tivermos uma expressão para F C D , vamos poder prosseguir, item por item, fornecendo as respostas do exercício!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, vamos começar aplicando as condições de equilíbrio na barra A B !

Fazendo um diagrama de corpo livre dela, temos as seguintes forças:

A condição de equilíbrio que vai nos permitir encontrar uma expressão para a força F C D mais facilmente vai ser o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A :

M A = 0

Agora, calcular o momento da força F C D inclinada é um tanto complicado, então vamos decompor ela em uma componente horizontal F C D x e uma componente vertical F C D y :

Em seguida, antes de podemos fazer o somatório de momentos M A , precisamos encontrar os braços das forças F C D x , F C D y e W em relação ao ponto A .

Então, vamos fazer uma pausa para olhar para os ângulos do exercício e encontrar os braços das forças!

O peso W atua no meio da barra rígida A B de comprimento L , mas a barra está com uma inclinação de 45 ° , então temos que o braço do peso vai ser igual à L / 2 cos 45 ° , como mostra a figura:

Já o braço da força F C D x vai ser igual à L / 2 * sen θ , como mostra a figura abaixo:

Por fim, o braço da força F C D y vai ser igual ao braço da força F C D x :

Passo 3

Agora que entendemos como são os braços das forças em relação ao ponto A , podemos finalmente realizar o somatório de momentos:

M A = 0

As forças F C D x e F C D y vão realizar um momento no sentido anti-horário ( + ), enquanto que a força W vai realizar um momento no sentido horário ( - ).

Dessa forma, o somatório de momentos fica assim:

F C D x * B r a ç o F C D x + F C D y * B r a ç o F C D y - W * B r a ç o W = 0

Substituindo os valores encontrados para os braços, temos que:

F C D x L 2 sen θ + F C D y L 2 sen θ - W L 2 cos 45 ° = 0

Dividindo tudo por L / 2 sen θ , isso fica assim:

F C D x + F C D y - W cos 45 ° sen θ = 0

Passando a parte que está subtraindo para o outro lado e depois substituindo F C D x = F C D * cos θ e F C D y = F C D * sen θ , encontramos que:

F C D * cos θ + F C D * sen θ = W cos 45 ° sen θ

E, finalmente, isolando F C D , encontramos uma expressão que descreve essa força:

F C D = W cos 45 ° sen θ cos θ + sen θ

Passo 4

Pronto! Agora que temos uma expressão que descreve a força F C D , podemos passar a resolver os itens do exercício.

Começando pelo item ( i ) : Calcular o ângulo θ para o qual a força F C D na escora é mínima.

Bom, a força F C D é dada por:

F C D = W cos 45 ° sen θ cos θ + sen θ

Essa expressão vai ser mínima quando a expressão “ sen θ cos θ + sen θ ” que está dividindo ela for máxima.

Agora, se a gente se lembrar lá de cálculo, vamos nos lembrar que os máximos e mínimos das funções ocorrem quando as suas derivadas são iguais à zero.

Então vamos aplicar essa condição da derivada igual a zero aqui e descobrir qual é o valor de θ que satisfaz ela:

d sen θ cos θ + sen θ d θ = 0

Usando a regra do produto u v ' = u ' v + u v ' , isso fica assim:

sen θ ' cos θ + sen θ + sen θ cos θ + sen θ ' = 0

Lembrando que derivada de seno é cosseno e que derivada de cosseno é menos seno, conseguimos calcular essas derivadas:

cos θ cos θ + sen θ + s e n   θ - sen θ + cos θ = 0

E fazendo as multiplicações e arrumando tudo, isso fica assim:

c o s 2 θ + 2 sen θ cos θ - s e n 2 θ = 0

Agora, eu não vou mentir: fiquei chateado/perdido com esse exercício quando cheguei aqui.

A gente quer isolar θ para descobrir o valor de θ que satisfaz a condição da derivada igual à zero, mas nessa expressão acima, não tem nenhum jeito fácil de isolar θ .

Aí eu fui dormir....

No dia seguinte, quando acordei, percebi que aquela expressão acima me lembrava das fórmulas do seno e cosseno de a + b :

s e n a + b = s e n   a cos b + s e n   b cos a

&

c o s a + b = c o s   a cos b - s e n   a sen b

E pois não é que quando você usa que a = θ e b = θ , você encontra que:

s e n 2 θ = 2 sen θ cos θ

&

cos 2 θ = c o s 2 x - s e n 2 x

Daí que, usando isso, você pode pegar a expressão que tinhamos encontrado:

c o s 2 θ + 2 sen θ cos θ - s e n 2 θ = 0

E reescrever ela assim:

cos 2 θ + s e n 2 θ = 0

Passando cos ( 2 θ ) pro outro lado, temos que:

s e n 2 θ = - cos ( 2 θ )

Dividindo tudo por c o s ( 2 θ ) , isso fica assim:

t g 2 θ = - 1

E enquanto que o primeiro ângulo a ter uma tangente igual a 1 é o ângulo de 45 ° , o primeiro ângulo a ter uma tangente igual a - 1 é o ângulo de 135 ° , de tal forma que:

2 θ = 135 °

Sendo assim, encontramos o ângulo θ para o qual a força F C D vai ser mínima!

θ = 135 ° 2 = 67,5 °

Felizmente, à partir daqui, o exercício fica mais tranquilo. 😊

Passo 5

Item ( i ) resolvido, seguimos para o item ( i i ) : Calcular a força F C D mínima.

Pegando a expressão que tinhamos encontrado para a força F C D , temos que:

F C D = W cos 45 ° sen θ cos θ + sen θ

Como acabamos de ver que F C D é mínima quando θ = 67,5 ° , a força F C D mínima vai ser:

F C D = W cos 45 ° sen 67,5 ° cos 67,5 ° + sen 67,5 °

A gente pode deixar esse resultado em função dos senos e cossenos assim.

Ou a gente pode usar uma calculadora para encontrar o que todos esses senos e cossenos vão dar.

Usando a calculadora, encontramos que:

F C D = 0,586   W

Passo 6

No próximo item, o item ( i i i ) , queremos calcular a área A da seção transversal da escora, sendo σ a d m a tensão admissível do material da mesma.

Então vamos nos lembrar...

Se um material tem uma tensão admissível σ a d m , isso significa que a tensão σ no material tem que ser menor ou igual que essa tensão admissível:

σ σ a d m

E a tensão normal σ na nossa escora pode ser dada pela fórmula da tensão normal média:

N A σ a d m

Agora, nós vimos lá no primeiro passo, quando entedemos o que estava acontecendo no exercício, que a escora está submetida a uma força de compressão F C D .

Então a intensidade N da força interna normal na nossa escora vai ser igual à intensidade dessa força F C D , que calculamos como 0,586   W .

Fazendo essa substituição, a expressão anterior fica assim:

0,586   W A σ a d m

Isolando a área A , que é o que queremos encontrar, obtemos que:

A 0,586   W σ a d m

Ou seja, a área mínima A m í n da seção transversal da escora vai ser:

A m í n = 0,586   W σ a d m

E assim finalizamos o item ( i i i ) .

Passo 7

Para o item ( i v ) , queremos calcular o encurtamento δ D da escora.

Esse encurtamento também pode ser entendido como a variação de comprimento δ C D que a escora C D sofre quando é comprimida e que é dada pela fórmula:

δ C D = N C D L C D E A C D

Sabemos que a escora possui uma força interna normal N C D = 0,586   W , e um comprimento L C D = 0,5   L .

E podemos considerar que ela possui um módulo de elasticidade E e uma área A C D igual a área mínima A m í n que ele pode ter, que foi encontrada no último item.

Fazendo isso, temos que:

δ C D = 0,586   W 0,5   L E 0,586   W σ a d m

Cortando ( 0,586   W ) em cima e em baixo e arrumando essa equação, ela fica assim:

δ C D = L σ a d m 2 E

Ou seja, o encurtamento δ D na escora é:

δ D = L σ a d m 2 E

Passo 8

Finalmente (!), chegamos ao item ( v ) : Calcular a energia de deformação acumulada na escoa.

Se considerarmos que o material da escora está se comportando de forma linear-elástica/de acordo com a Lei de Hooke, vamos ter que a energia de deformação U na escora vai ser dada por:

U = 1 2 σ ε V

Onde:

  • σ é a tensão na escora. Se considerarmos que a escora possui a menor área de seção transversal possível, σ vai ser igual a σ a d m ;
  • ε é a deformação na escora, que pode ser calculada pela Lei de Hooke σ = E ε . Considerando uma tensão σ a d m , vamos ter que ε = σ a d m / E ;
  • E V é o volume da escora.

Fazendo essas considerações, a energia de deformação fica assim:

U = 1 2 ( σ a d m ) σ a d m E V

Arrumando, isso dá:

U = 1 2 σ a d m 2 E V

E, assim, finalizamos o exercício!

Resposta

i     θ = 67,5 °

i i     F C D = 0,586   W

i i i     A = A m í n = 0,586   W σ a d m

i v     δ D = L σ a d m 2 E

&

v     U = 1 2 σ a d m 2 E V

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