Exercícios Resolvidos de Energia de Deformação

Elaboração Própria

A estrutura A B D abaixo suporta um peso P em sua ponta e é sustentada pelo cabo de aço C D , que forma um ângulo θ com a horizontal. Considerando que o cabo de aço possuí uma área A de seção transversal e que ele se comporta de acordo com a Lei de Hooke, possuindo um módulo de elasticidade E , determine:

( a ) a força de tração F C D no cabo em função do ângulo θ ;

( b ) o valor de θ para o qual a força F C D é mínima;

& ( c ) a densidade de energia de deformação u no cabo quando F C D é mínima.

Passo 1

O que está acontecendo?

A estrutura A B D traciona o cabo de aço com uma força F C D .

O cabo reage a essa tração fazendo uma força de mesma intensidade F C D que contribui para o equilíbrio da estrutura, como mostra o Diagrama de Corpo Livre da estrutura:

Aplicando as condições de equilíbrio nessa estrutura A B D , é possível encontrar uma expressão para a força F C D em função do peso P e do ângulo θ , respondendo assim o item ( a ) .

Em seguida, para responder o item ( b ) , vamos ter que usar a propriedade que vimos em cálculo que diz que os máximos e mínimos de uma função ocorrem quando a sua derivada é igual a zero.

Por fim, para resolver o item ( c ) , vamos ter que utilizar o valor encontrado para θ no item anterior para encontrar a força F C D mínima.

Com isso, vamos poder calcular a tensão normal média σ = N / A no cabo de aço, e, em seguida, calcular a densidade de energia de deformação u = 1 / 2 σ ε .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando pelo item ( a ) :

Para encontrar a força F C D em função do ângulo θ , vamos ter que observar o Diagrama de Corpo Livre da estrutura A B D :

E aplicar as condições de equilíbrio para essa estrutura.

Então vamos pensar...

A condição de equilíbrio que nos permite encontrar F C D sem que a gente tenha que se preocupar em calcular as reações no apoio em A ( H A e V A ) vai ser o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A :

∑ M A = 0

Em relação ao ponto A , já conseguimos ver que o peso P vai gerar um momento no sentido horário ( - ) com um braço L .

Quanto a força F C D , fica difícil visualizar o braço do momento que ela vai gerar uma vez que ela é uma força inclinada.

Para facilitar nossa vida, podemos decompor F C D em uma componente horizontal F C D x e uma componente vertical F C D y :

Pensando assim, vamos ter que, em relação ao ponto A :

  • A força F C D x vai gerar um momento no sentido anti-horário ( + ) com um braço ( 3 / 3 ) L ;
  • E a força F C D y vai gerar outro momento no sentido anti-horário ( + ), mas com um braço L .

Agora que entendemos como vão ficar os momentos em relação ao ponto A , podemos fazer o somatório de momentos, que fica assim:

∑ M A = 0

- P L + F C D x 3 3 L + F C D y L = 0

Dividindo tudo por L e passando P para o outro lado, temos que:

3 3 F C D x + F C D y = P

Substituindo F C D x = F C D cos ⁡ θ e F C D y = F C D sen ⁡ θ :

3 3 F C D cos ⁡ θ + F C D sen ⁡ θ = P

Tirando F C D em evidência:

F C D 3 3 cos ⁡ θ + s e n   θ = P

Finalmente, isolando F C D encontramos que:

F C D = P 3 3 cos ⁡ θ + s e n   θ

E assim está resolvido o item ( a ) !

Passo 3

Agora, no item ( b ) , temos que analisar para qual valor de θ a força F C D abaixo vai ser mínima:

F C D = P 3 3 cos ⁡ θ + s e n   θ

Bom, essa força vai ser mínima quando a expressão “ 3 / 3 cos ⁡ θ + s e n   θ ” que está dividindo ela for máxima.

Agora, lá em cálculo nós vimos que os máximos e mínimos das funções ocorrem quando as suas derivadas são iguais à zero.

Então vamos aplicar essa condição da derivada igual a zero aqui e descobrir qual é o valor de θ que satisfaz ela:

d 3 / 3 cos ⁡ θ + s e n   θ d θ = 0

Sabendo que derivada de seno é cosseno e que derivada de cosseno é menos seno, essa derivada fica assim:

3 3 - sen ⁡ θ + ( cos ⁡ θ ) = 0

Passando ( cos ⁡ θ ) para o outro lado, temos que:

- sen ⁡ θ * 3 3 = - cos ⁡ θ

Dividindo tudo por - cos ⁡ θ , encontramos que:

tg ⁡ θ * 3 3 = 1

O que significa que:

tg ⁡ θ = 3 3 = 3

O ângulo que possui tangente igual à 3 é o ângulo de 60 ° , então temos que:

θ = 60 °

Ou seja, podemos dizer que a força F C D é mínima quando θ = 60 ° !

Passo 4

Finalmente, para o item ( c ) , vamos precisar da tensão normal média σ no cabo de aço para podermos encontrar a densidade de energia de deformação u .

Para encontrar σ , vamos primeiro encontrar o valor da força F C D mínima, e, em seguida, encontrar a tensão normal média σ = N / A correspondente.

Aplicando a fórmula que encontramos para F C D no item ( a ) , temos que:

F C D = P 3 3 cos ⁡ θ + s e n   θ

Substituindo θ = 60 ° :

F C D = P 3 3 cos ⁡ 60 ° + s e n   60 °

Como cos ⁡ 60 ° = 1 / 2 e sen ⁡ 60 ° = 3 / 2 :

F C D = P 3 3 1 2 + 3 2

Simplificando essa expressão, ela fica assim:

F C D = 2 P 3 1 3 + 1 = 2 P 3 4 3

Ou seja:

F C D = 3 * 2   P 3 * 4

Simplificando mais uma vez, finalmente encontramos que:

F C D = 3 2 P

Ou seja, a força F C D mínima no cabo de aço ocorre quando θ = 60 ° e é igual a ( 3 / 2 ) P .

Além disso, como a força F C D é a força de tração no cabo, vamos ter que a força interna normal N no cabo vai ser igual a F C D , ou seja:

N = 3 2 P

E essa força normal N vai gerar uma tensão normal média no cabo de aço:

σ = N A = 3 2 P A = 3   P 2 A

Passo 5

Agora que conhecemos o valor da tensão normal média σ no cabo quando a força F C D é mínima, podemos calcular a densidade de energia de deformação u no cabo nesse caso.

Da fórmula da densidade de energia de deformação u , temos que:

u = 1 2 σ ε

Nós não conhecemos a deformação ε no cabo, mas sabemos que o cabo está seguindo a Lei de Hooke σ = E ε , de tal forma que:

ε = σ E

Fazendo essa substituição na fórmula de u , encontramos que:

u = 1 2 σ σ E

u = 1 2 σ 2 E

Substituindo o valor encontrado para a tensão normal média σ :

u = 1 2 3   P 2 A 2 E

O que nos dá a resposta para o item ( c ) :

u = 3 P 2 8 A 2 E

Resposta

a     F C D = P 3 3 cos ⁡ θ + s e n   θ

b     θ = 60 °

&

c     u = 3 P 2 8 A 2 E

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