Exercícios Resolvidos de Energia de Deformação

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Enunciado

Os dados obtidos em um ensaio de tensão-deformação para um material cerâmico são dados na tabela. A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto. Represente o diagrama em gráfico e determine o módulo de elasticidade e o módulo de resiliência.

Passo 1

A primeira coisa que fazemos nesse exercício é desenhar o Diagrama Tensão-Deformação do material em um gráfico:

Em seguida, o exercício quer que a gente determine o módulo de elasticidade E e o módulo de resiliência u r desse material.

Para tanto, vamos usar a informação de que a curva é linear entre a origem e o primeiro ponto.

O que isso significa é que o primeiro ponto é o limite de proporcionalidade L P do material (o último ponto do diagrama que segue a Lei de Hooke), de tal forma que:

σ L P = σ 1 = 232,4   M P a

&

ε L P = ε 1 = 0,0006   m m / m m

Agora, lembra aí!

Para calcular o módulo de elasticidade E de um material, podemos usar os valores de σ e ε de qualquer ponto do diagrama tensão-deformação que siga a Lei de Hooke σ = E ε .

Usando σ L P e ε L P , vamos ter que:

σ L P = E ε L P

O que significa que:

E = σ L P ε L P

E para calcular o módulo de resiliência u r do nosso material, podemos nos lembrar que ele é igual à área triangular debaixo da região linear do diagrama tensão-deformação:

Ou podemos nos lembrar diretamente da fórmula para u r :

u r = 1 2 σ L P ε L P

Passo 2

Agora que já desenhamos o Diagrama Tensão-Deformação do material e entendemos como encontrar os valores de E e u r para o material, vamos calcular esses valores!

Para o módulo de elasticidade E , temos que:

E = σ L P ε L P

Substituindo os valores de σ L P e ε L P , encontramos que:

E = ( 232,4   M P a ) ( 0,0006   m m / m m )

O que dá:

E = 387333   M P a

Como esse número é um pouco grande, o reescrevemos em G P a :

E = 387,3   G P a

E para o módulo de resiliência u r , temos que:

u r = 1 2 σ L P ε L P

Substituindo os valores de σ L P e ε L P , encontramos:

u r = 1 2 232,4   M P a 0,0006   m m / m m

Calculando, isso dá:

u r = 0,0697   M P a

Passo 3

Poderiamos já terminar o exercício por aqui.

Mas temos mais uma coisa que podemos fazer: como u r é uma medida de densidade de energia, queremos dar o resultado de u r em uma unidade de energia sobre volume.

(A unidade atual do nosso resultado para u r é M P a , que é uma unidade de tensão!)

Então vamos pensar...

P a = N m 2

Multiplicando em cima e em baixo por m , isso fica assim:

P a = N * m m 2 * m

Mas N * m é o mesmo que joule, então:

P a = J m 3

Sendo assim, podemos reescrever o nosso resultado, que está em M P a , em M J / m 3 :

u r = 0,0697   M J m 3

E assim, finalizamos o exercício:

Resposta

E a p r o x = 387,3   G P a

u r = 0,0697   M J / m 3

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