Exercícios Resolvidos de Energia de Deformação

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Enunciado

Uma coluna de concreto com uma seção transversal de 100   m m   ×   400   m m está submetida a uma compressão de 900   k N .

Considerando que, nessas condições, o concreto possui um comportamento elástico-linear, determine a densidade de energia de deformação u no concreto.

Dados: E c o n c r e t o = 40   G P a

Passo 1

A coluna de concreto possui uma área de seção transversal A = ( 100   m m ) ( 400   m m ) e um módulo e elasticidade E = 40   G P a .

Além disso, como a única força na coluna é a compressão de 900   k N , vamos ter na coluna uma força interna normal N = - 900   k N .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber a densidade de energia de deformação u na coluna.

Como o concreto possui um comportamento elástico-linear (está seguindo a Lei de Hooke), temos que u vai ser dado pela fórmula:

u = 1 2 σ ε

Nessa fórmula, podemos usar a Lei de Hooke σ = E ε para substituir a deformação ε e a fórmula da tensão normal média σ = N / A para substituir a tensão σ .

Dessa forma, vamos encontrar uma expressão para u em função de valores que conhecemos!

Passo 2

Então, vamos começar aplicando a fórmula da densidade de energia de deformação u para um material que está seguindo a Lei de Hooke:

u = 1 2 σ ε

Da Lei de Hooke σ = E ε , temos que ε = σ / E .

Fazendo essa substituição, encontramos que:

u = 1 2 σ σ E

u = 1 2 σ 2 E

Em seguida, aplicando a fórmula da tensão normal média, temos que:

u = 1 2 N A 2 E

E pronto! Temos uma expressão para u em função de valores que conhecemos!

Passo 3

Substituindo os valores de N , A e E na expressão anterior, temos:

u = 1 2 ( - 900   k N ) ( 100   m m ) ( 400   m m ) 2 ( 40   G P a )

A parte dessa equação que está elevada ao quadrado tem unidades k N / m m 2 , que é o mesmo que G P a .

Dessa forma, vamos ter G P a 2 como unidade na parte superior da equação enquanto que já temos G P a como unidade na parte inferior.

Sendo assim, o resultado da conta vai sair em G P a !

Calculando tudo, encontramos que:

u = 6,33 * 10 - 6   G P a

Esse número é bastante pequeno, então podemos reescrevê-lo em k P a :

u = 6,33   k P a

Passo 4

Poderiamos terminar o exercício por aqui.

Mas ainda temos uma coisa para fazer: como u é uma medida de densidade de energia, queremos dar o resultado de u em uma unidade de energia sobre volume.

(A unidade atual do nosso resultado para u é k P a , que é uma unidade de tensão!)

Então vamos pensar...

P a = N m 2

Multiplicando em cima e em baixo por m , isso fica assim:

P a = N * m m 2 * m

Mas N * m é o mesmo que joule, então:

P a = J m 3

Sendo assim, podemos reescrever o nosso resultado, que está em k P a , em k J / m 3 :

u = 6,33 k J m 3

E assim temos a nossa resposta:

Resposta

u = 6,33   k P a = 6,33 k J m 3

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