Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Não Homogênea

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Enunciado

Determine a solução u x , t do problema

u t - u x x = 0 ,     x ∈ 0,20 ,   t ∈ 0 , ∞ u 0 , t = 100 , u 20 , t = 0 ,     t ∈ 0 , ∞ , u x , 0 = g x ,   x ∈ 0,20 ,

Onde

g x = 100 ,     0 ≤ x < 10 , 0 ,     10 ≤ x ≤ 20 .

Passo 1

Aqui já temos de cara um problema:

u 0 , t = 100

Essa condição não dá zero, então vai complicar na hora de separar as variáveis. Para contornar esse problema, precisamos fazer uma substituição:

v = u - u ^

Tal que:

v 0 , t = 0

v 20 , t = 0

Para primeira condição, se u ^ = 100 :

v 0 , t = u 0 , t - 100 = 100 - 100 = 0

Mas aí tem o problema com v 20 , t = 0 :

v 20 , t = u 20 , t - 100 = - 100

Para contornar esse problema, fazemos:

u ^ = 100 - 5 x

Assim, a última condição vai ficar:

u x , 0 = g x

v x , 0 = g x - 100 + 5 x

E teremos o problema:

v t - v x x = 0 ,     x ∈ 0,20 ,   t ∈ 0 , ∞ v 0 , t = 0 , v 20 , t = 0 ,     t ∈ 0 , ∞ , v x , 0 = g x - 100 + 5 x ,     x ∈ 0,20 ,

Passo 2

Resolvido o primeiro entrave, vamos aplicar o método da separação de variáveis:

v x , t = X x T t

Para substituir na EDP, derivamos convenientemente: v x x = X ' ' x T t

v t = X x T ' t

Show, agora teremos:

X x T ' t - X ' ' x T t = 0

E então colocamos tudo que for x de um lado e tudo que for t do outro:

X ' ' x X x = T ' t T t

Como temos função de x de um lado e função de t do outro, o único jeito dessa igualdade ser verdadeira é se for igual a uma constante:

X ' ' x X x = T ' t T t = λ

A partir disso, conseguimos chegar nas EDOs associadas. Para cada igualdade, temos: X ' ' x = λ X x

X ' ' x - λ X x = 0

Da mesma forma:

T ' t - λ T t = 0

Legal, agora a partir das condições de contorno, conseguimos achar algumas condições para essas funções:

v 0 , t = 0 ⟹ X 0 T t = 0

Como queremos soluções não triviais: X 0 = 0

Da mesma maneira: v 2 0 , t = 0 ⟹ X 20 T t = 0

X 20 = 0

Assim, teremos os problemas: X ' ' x - λ X x = 0 X 0 = X 2 0 = 0

T ' t - λ T t = 0

Passo 3

Vamos agora resolver o problema que tem mais condições de contorno. Vamos ter a equação característica: r 2 - λ = 0

r = ± λ

OK, como as raízes da equação característica dependem de λ , vamos estudar caso a caso o sinal dele para ver como fica a nossa solução. Quando λ > 0 , teremos duas raízes reais e distintas. Logo, vamos ter uma solução na forma exponencial:

X x = A e λ x + B e - λ x

Agora aplicamos as condições iniciais:

X 0 = A e 0 + B e 0 = A + B = 0 ⟹ B = - A

X 20 = A e λ ⋅ 20 - A e - λ ⋅ 20 = A e λ ⋅ 20 - e - λ ⋅ 20 = 0

Temos entre parênteses duas exponenciais distintas, então resta:

A = - B = 0

Logo, só teremos a solução trivial neste caso: X x = 0

Vamos ver então o que acontece para λ = 0 . Neste caso, teremos: r = ± λ = 0  

Ou seja, teremos duas raízes identicamente nulas e a solução será na forma de uma reta: X x = A + B x

Aplicando as condições:

X 0 = A + B ⋅ 0 = 0 ⟹ A = 0

X 20 = B ⋅ 20 = 0 ⟹ B = 0

Então novamente vamos ter a solução trivial:

X x = 0

Vamos ver agora λ < 0 . Neste caso, teremos:

r = ± λ = ± i λ

Ou seja, teremos duas raízes puramente imaginárias e nossa solução será com senos e cossenos: X x = A cos ⁡ λ x + B sen ⁡ λ x

Aplicando uma condição: X 0 = A cos ⁡ 0 + B sen ⁡ 0 = A = 0

Aplicando a outra condição:

X 20 = B sen ⁡ λ ⋅ 20 = 0

Como buscamos soluções não triviais, precisamos que:

sen ⁡ λ ⋅ 20 = 0

Isso acontece para quando temos seno na forma: sen ⁡ n π

Portanto igualamos o argumento do seno a isso: 20 λ = n π

Isolando λ :

λ = n 2 π 2 400

Como λ < 0 neste caso:

λ n = - n 2 π 2 400

Que serão os autovalores associados. Desconsiderando a constante e substituindo esse valor, chegamos na solução fundamental:

X x = B sen ⁡ λ x

X n x = sen ⁡ n π 20 x

Passo 4

Guardamos essa solução no coração e vamos para a outra EDO:

T ' t - λ T t = 0

Essa é uma EDO separável, teremos: d T d t = λ T t

d T T = λ d t

Integrando dos dois lados:

∫ d T T = λ ∫ d t

ln ⁡ T = λ t + K

T t = e K ⋅ e λ t

Definimos C = e K e vamos ter:

T t = C e λ t

Vimos que λ n = - n 2 π 2 / 400 , portanto, teremos: T n 1 t = 1

T n t = e - n 2 π 2 t 400

Passo 5

Quase lá! Assim teremos retornando a v :

v n x , t = X n x T n t = e - n 2 π 2 t 400 sen ⁡ n π 20 x

A solução geral será dada pela combinação linear dessas soluções:

v x , t = ∑ n = 1 ∞ b n e - n 2 π 2 t 400 sen ⁡ n π 20 x

Para encontrar o coeficiente b n , vamos para a última condição:

v x , 0 = g x - 100 + 5 x

Assim: v x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n e 0 sen ⁡ n π 20 x = g x - 100 + 5 x

v x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π 20 x = g x - 100 + 5 x

Em que:

g x = 100 ,     0 ≤ x < 10 , 0 ,     10 ≤ x ≤ 20 .

Passo 6

Comparando, vemos que a b n é o coeficiente de Fourier associado à função do lado direito da equação. Como temos uma série apenas em senos. Usaremos a extensão ímpar desta função.

De forma geral, temos: b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

Pelo intervalo de g x , temos uma extensão 4 0 -periódica. Como a fórmula geral trata de funções 2 L -periódica, então L = 2 0 :

b n = 1 2 0 ∫ - 2 0 2 0 g x - 100 + 5 x sen ⁡ n π x 20 d x

Assim, como estamos usando a extensão ímpar e a função seno é ímpar, o integrando será par, ficando:

b n = 2 20 ∫ 0 20 g x - 100 + 5 x sen ⁡ n π x 20 d x

Para resolver essa integral vamos separar e substituir as expressões de g x :

∫ 0 20 g x - 100 + 5 x sen ⁡ n π x 20 d x =

∫ 0 10 100 - 100 + 5 x sen ⁡ n π x 20 d x + ∫ 10 20 0 - 100 + 5 x sen ⁡ n π x 20 d x

∫ 0 10 5 x sen ⁡ n π x 20 d x + ∫ 10 20 5 x sen ⁡ n π x 20 d x - ∫ 10 20 100 sen ⁡ n π x 20 d x

∫ 0 20 5 x sen ⁡ n π x 20 d x - ∫ 10 20 100 sen ⁡ n π x 20 d x

Vamos calcular essas integrais. Para a primeira, usamos integração por partes. Pelo LIATE, temos:

u = 5 x v = - 20 n π cos ⁡ n π x 20 d u = 5 d x d v = sen ⁡ n π x 20 d x

Assim:

∫ 0 20 5 x sen ⁡ n π x 20 d x = - 100 n π x cos ⁡ n π x 20 0 20 + 100 n π ∫ 0 20 cos ⁡ n π x 20 d x

= - 100 n π x cos ⁡ n π x 20 0 20 + 2000 n 2 π 2 sen ⁡ n π x 20 0 20

= - 100 n π ⋅ 20 ⋅ cos ⁡ n π + 2000 n 2 π 2 sen ⁡ n π

- 2000 n π cos ⁡ n π

Agora, para a outra integral:

∫ 10 20 100 sen ⁡ n π x 20 d x = - 100 ⋅ 20 n π cos ⁡ n π x 20 10 20 = - 2000 n π cos ⁡ n π + 2000 n π cos ⁡ n π 2

Portanto, vamos ter:

b n = 1 10 ∫ 0 20 g x - 100 + 5 x sen ⁡ n π x 20 d x

b n = 1 10 - 2000 n π cos ⁡ n π + 2000 n π cos ⁡ n π - 2000 n π cos ⁡ n π 2

b n = - 2 00 n π cos ⁡ n π 2

Logo, vamos ter, para a nossa série:

v x , t = - ∑ n = 1 ∞ 200 n π cos ⁡ n π 2 e - n 2 π 2 t 400 sen ⁡ n π 20 x

Passo 7

Para fechar, vamos para u que é o que o problema pediu de fato. Pela definição:

v = u - u ^

Então, vamos ter:

u x , t = 100 - 5 x - ∑ n = 1 ∞ 200 n π cos ⁡ n π 2 e - n 2 π 2 t 400 sen ⁡ n π 20 x

Resposta

u x , t = 100 - 5 x - ∑ n = 1 ∞ 200 n π cos ⁡ n π 2 e - n 2 π 2 t 400 sen ⁡ n π 20 x

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