Exercícios Resolvidos de Equações de Navier-Stokes

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Um campo de escoamento incompressível, tridimensional, proposto tem a seguinte forma vetorial:

V   = K x i + K y j - 2 K z k

( a )   Determine se esse campo é uma solução válida para a continuidade e para Navier-Stokes. ( b ) Se g   =   - g k , encontre o campo de pressão p ( x ,   y ,   z ) .

Passo 1

Neste exercício temos as seguintes informações do enunciado:

-O campo de velocidade V :

u = K x v = K y w = - 2 K z

-Escoamento incompressível:

ρ = c o n s t a n t e

-Gravidade apenas em z :

g z = - g

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra a e b)

Aplicaremos o campo primeiro a Equação da Continuidade:

ρ t + x ρ u + y ρ v + z ρ w = 0

u x + v y + w z = 0

K + K - 2 K = 0

0 = 0

Portanto, esse campo satisfaz a continuidade

Aplicando a Navier-Stokes:

ρ g x - p x + μ 2 u x 2 + 2 u y 2 + 2 u z 2 = ρ u t + u u x + v u y + w u z ρ g y - p y + μ 2 v x 2 + 2 v y 2 + 2 v z 2 = ρ v t + u v x + v v y + w v z ρ g z - p z + μ 2 w x 2 + 2 w y 2 + 2 w z 2 = ρ w t + u w x + v w y + w w z

- p x = ρ u u x - p y = ρ v v y - ρ g - p z = ρ w w z

- p x = ρ K ² x - p y = ρ K ² y - ρ g - p z = ρ - 4 K ² z

p x = - ρ K ² x p y = - ρ K ² y p z = 4 ρ K ² z - ρ g

Agora separando as varíáveis de cada uma das equações e integrando:

p = - ρ K 2 x   x

p = - ρ K 2 x 2 2 + f ( y , z ) + p a

Na segunda equação:

p = - ρ K 2 y   y

p = - ρ K 2 y 2 2 + f ( x , z ) + p a

Na terceira:

p = 4 ρ K ² z - ρ g z

p = 2 ρ K ² z ² - ρ g z + f x , y + p a

Podemos dizer por comparação:

p x , y , z = - ρ K 2 x 2 2 - ρ K 2 y 2 2 + 2 ρ K 2 z 2 - ρ g z + p a

Ou,

p x , y , z = - ρ K 2 2 x ² + y ² + 4 z ² - ρ g z + p a

Resposta

Letra a)É válido para ambos

Letra b) p x , y , z = - ρ K 2 2 x ² + y ² + 4 z ² - ρ g z + p a

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas