Exercícios Resolvidos de Equações de Navier-Stokes

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Um campo de escoamento permanente, incompressível, sem atrito, é dado por

V = 2 x y i - y 2 j

em unidades arbitrárias. Seja a massa específica ρ 0 = c o n s t a n t e e despreze a gravidade. Encontre uma expressão para o gradiente de pressão na direçãoo x .

Passo 1

Neste exercício ele nos dá algumas infomações bem importantes:

-Escoamento permanente: toda derivada temporal será igual a zero

-Escoamento incompressível: a massa específica é constante em todo escoamento

-Sem atrito: viscosidade desprezível

-Desprezaremos a gravidade

Agora só precisamos saber quem é nosso gradiente de pressão p x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando as condições do Passo 1 na primeira expressão de Navier-Stokes:

ρ g x - p x + μ 2 u x 2 + 2 u y 2 + 2 u z 2 = ρ d u d t

Ou seja,

g x = 0

μ = 0

O que nos resta é

- p x =   ρ d u d t

Sabemos que:

d u d t = u t + u u x + v u y + w u z

Sendo u t = 0

Juntando tudo temos a seguinte expressão para resolver:

- p x =   ρ u u x + v u y + w u z

Passo 3

Do enunciado:

u = 2 x y v = - y 2

Aplicando na nossa expressão

- p x =   ρ u u x + v u y + w u z

- p x =   ρ 2 x y 2 y + - y 2 2 x + 0

- p x =   ρ 4 x y ² - 2 x y ²

p x = -   2 ρ x y ²

Resposta

p x = -   2 ρ x y ²

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