Exercícios Resolvidos de Equações de Navier-Stokes

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Enunciado

Considere a esfera de raio R imersa em uma corrente uniforme U 0 , como mostra a Figura. De acordo com a teoria, a velocidade do fluido ao longo da linha de corrente A B é dada por

V = u i =   U 0 1 +   R ³ x ³ i

Encontre ( a ) a posição da aceleração máxima do fluidod ao longo de A B e ( b ) o tempo necessário para que uma partícula de fluido se desloque de A a B .

Passo 1

O enunciado nos fornece o campo de velocidade

V = u i = U o 1 + R ³ x ³ i

e nos pede a aceleração máxima ao longo de x , antes então devemos encontrar a função que define essa aceleração.

Passo 2

Sabemos que:

a = d V d t = i d u d t + j d v d t + k d w d t

Como é um campo unidimensional,

a = d V d t = i d u d t

Se,

d u d t = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z

Temos que:

a = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z

Substituindo u :

a = 0 + U o 1 + R ³ x ³ ∂ ∂ x U o 1 + R ³ x ³ + 0 + 0

a = U o ² 1 + R ³ x ³ - 3 R ³ x 4

a = - 3 U o ² R ³ 1 x 4 + R ³ x 7

Devemos então encontrar o ponto que a é máximo, ou seja,

∂ a ∂ x = 0

- 3 U o ² R ³ - 4 1 x 5 - 7 R ³ x 8 = 0

- 4 1 x 5 - 7 R ³ x 8 = 0

4 1 x 5 = - 7 R 3 x 8

x 8 x 5 = - 7 R 3 4

x ³ = - 7 R 3 4

x = R - 7 4 3

x ≅ - 1,205 R

Passo 3

Na letra b) queremos calcular quanto tempo leva para o fluido se movimentar de A até B .

Sabemos que

u = d x d t

U o 1 + R ³ x ³ = d x d t

Se separarmos a varíáveis ficamos com,

U o d t = d x 1 + R ³ x ³

Integrando nos corretos limites de integração:

∫ 0 t U o d t = ∫ - 4 R - R d x 1 + R ³ x ³

Tentar resolver esta integral é muito complicado, pois ela não converge para um valor e tende ao infinito. O objetivo da questão era demonstrar que o fluido leva um tempo infinito para chegar ao ponto de estagnação em B ( x = - R ) , onde a velocidade do fluido é zero.

Logo,

t → ∞

Resposta

Letra a)

x ≅ - 1,205 R

Letra b)

t → ∞

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