Exercícios Resolvidos de Equações de Navier-Stokes

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Enunciado

Das equações de Navier-Stokes para escoamento incompressível em coordenadas polares encontre o caso mais geral de movimento puramente circulatório v θ ( r ) , v r =   v z = 0 , para escoamento sem escorregamento entre dois cilindros concêntricos fixos, como na Figura.

Equação da continuidade em coordenadas cilíndricas:

1 r ∂ r v r ∂ r + 1 r ∂ v θ ∂ θ + ∂ v z ∂ z = 0

Equações de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas:

∂ v r ∂ t + v r ∂ v r ∂ r + v θ r ∂ v r ∂ θ + v z ∂ v r ∂ z - v θ 2 r = - 1 ρ ∂ p ∂ r + g r + μ ρ 1 r ∂ ∂ r r ∂ v r ∂ r + 1 r ² ∂ ² v r ∂ θ ² + ∂ ² v r ∂ z ² - v r r 2 - 2 r ² ∂ v θ ∂ θ ∂ v θ ∂ t + v r ∂ v θ ∂ r + v θ r ∂ v θ ∂ θ + v z ∂ v θ ∂ z + v r v θ r = - 1 ρ r ∂ p ∂ θ + g θ + μ ρ 1 r ∂ ∂ r r ∂ v θ ∂ r + 1 r ² ∂ ² v θ ∂ θ ² + ∂ ² v θ ∂ z ² - v θ r 2 - 2 r ² ∂ v r ∂ θ ∂ v z ∂ t + v r ∂ v z ∂ r + v θ r ∂ v z ∂ θ + v z ∂ v z ∂ z = - 1 ρ ∂ p ∂ z + g z + μ ρ 1 r ∂ ∂ r r ∂ v z ∂ r + 1 r ² ∂ ² v z ∂ θ ² + ∂ ² v z ∂ z ²

Passo 1

Primeiro de tudo já sabemos que v θ só está em função de r , e que v r = v z = 0 . Já sabemos daí que a continuidade será satisfeita.

Esses dados simplificarão em muito o problema também. Queremos encontrar o valor da função v θ ( r ) . Vamos supor que os efeitos gravitacionais não existem.

Passo 2

Da equação de θ de Navier-Stokes, já aplicando as condições do Passo 1:

0 = - 1 ρ r ∂ p ∂ θ + μ ρ 1 r ∂ ∂ r r ∂ v θ ∂ r - v θ r 2

Por simetria podemos dizer que p não varia com θ :

0 = μ ρ 1 r ∂ ∂ r r ∂ v θ ∂ r - v θ r 2

1 r ∂ ∂ r r ∂ v θ ∂ r - v θ r 2 = 0

Se resolvermos a derivada pela Regra do Produto:

∂ ² v θ ∂ r ² + 1 r ∂ v θ ∂ r - 1 r 2 v θ = 0

A solução desta equação é:

v θ = C 1 r + C 2 r

Passo 3

Se substituirmos as condições de contorno v θ a = 0 devido ao não escorregamento:

v θ a = C 1 a + C 2 a = 0

C 1 = - C 2 a ²

Para v θ b = 0 também por não-escorregamento:

v θ b = C 1 b + C 2 b = 0

- C 2 a ² b + C 2 b = 0

C 2 - b a 2 + 1 b = 0

Supondo que C 2 ≠ 0

- b a 2 + 1 b = 0

1 b = b a 2

a = b

Se isso for verdade, não haveria escoamento entre os cilindros para satisfazer as condições inciais.

Como o escoamento pode existir, devemos reavliar as hipóteses iniciais. Podemos dizer que o escoamento não existe em estado permanente, ou seja, suas condições variam no tempo o que torna o escoamento muito mais complicado de analisar.

Mas isso não excluiu o fato de existir uma solução geral de escoamentos entre cilindros concêntricos.

Resposta

v θ = C 1 r + C 2 r

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