Exercícios Resolvidos de Equações de Navier-Stokes

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Enunciado

Um campo de velocidade bidimensional é dado por

V = x 2 - y 2 + x i - 2 x y + y j

em unidades arbitrárias. Em x ,   y = ( 1 ,   2 ) , calcule ( a ) as acelerações a x e a y , ( b ) o componente de velocidade na direção θ = 40 ° , ( c ) a direção da velocidade máxima e ( d ) a direção da aceleração máxima.

Passo 1

Neste exercício, temos um campo bidimensional de velocidade, logo podemos reduzir o númeo de equações de aceleração para duas apenas:

d u d t = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z d v d t = ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z  

Sabemos que a componente da velocidade no eixo x é igual a u e que no eixo y é igual a v , podemos reescrever o campo nos termos de u e v :

u = x 2 - y 2 + x

v = - ( 2 x y + y )

Passo 2

Na letra a, o problema nos pede para calcular a x e a y , que nada mais são:

a x = d u d t = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z

a y = d v d t = ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z

Resolvendo então as derivadas, primeiro para a x :

∂ u ∂ t = 0 u ∂ u ∂ x = x 2 - y 2 + x 2 x + 1 v ∂ u ∂ y = - 2 x y + y - 2 y w ∂ u ∂ z = 0

Para a y :

∂ v ∂ t = 0 u ∂ v ∂ x = x 2 - y 2 + x ( - 2 y ) v ∂ v ∂ y = - 2 x y + y - 2 x - 1 w ∂ u ∂ z = 0

Em x , y = ( 1,2 ) :

a x = x 2 - y 2 + x 2 x + 1 - 2 x y + y - 2 y

a x = 1 2 - 2 2 + 1 2 × 1 + 1 - 2 × 1 × 2 + 2 - 2 × 2

a x = 1 - 4 + 1 2 + 1 - 4 + 2 - 4

a x = - 2 3 - 6 - 4

a x = - 6 + 24

a x = 18

E, mais rápido dessa vez:

a y = x 2 - y 2 + x ( - 2 y ) - 2 x y + y - 2 x - 1

a y = 1 2 - 2 2 + 1 ( - 2 × 2 ) - 2 × 1 × 2 + 2 - 2 × 1 - 1

a y = - 2 - 4 + - 6 - 3

a y = 26

Passo 3

Na letra b, o exercício nos pede a representação de V em uma direção θ = 40 o .

Isso é nada menos que a projeção de V em um vetor que representa essa direção.

Podemos definir um vetor n = ( cos ⁡ 40 o , sin ⁡ 40 o ) unitário.

Substituindo x , y = 1,2 em V :

u = x 2 - y 2 + x = - 2

v = - 2 x y + y = - 6

V = ( - 2 , - 6 )

Realizando o produto escalar

V ∙ n = ( - 2 , - 6 ) ∙ ( cos ⁡ 40 o , sin ⁡ 40 o )

V ∙ n = - 2 cos ⁡ 40 o - 6 sin ⁡ 40 o

V ∙ n ≅ - 5,39

Passo 4

Na letra c, temos que calcular em que direção temos velocidade máxima.

Já sabemos da letra anterior que V = ( - 2 , - 6 )

Percebe que se seguirmos o mesmo princípio da letra b, devemos achar um ângulo θ que maximize V .

Isso lembra máximo e mínimos de cálculo, e é exatamente o que faremos:

Para θ arbitrário:

V ∙ n = ( - 2 , - 6 ) ∙ ( cos ⁡ θ , sin ⁡ θ )

V ∙ n = - 2 cos ⁡ θ - 6 sin ⁡ θ

Vamos chamar essa expressão de f e derivá-la em θ :

f = V ∙ n = - 2 cos ⁡ θ - 6 sin ⁡ θ

d f d θ = 2 sin ⁡ θ - 6 cos ⁡ θ

Para encontrarmos um ponto ótimo devemos igualar a zero:

d f d θ = 0

2 sin ⁡ θ - 6 cos ⁡ θ = 0

2 sin ⁡ θ = 6 cos ⁡ θ

sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 6 2

tan ⁡ θ = 3

θ = tan - 1 ⁡ 3

Temos que lembrar que em um cículo trigonométrico dois ângulos pelo menos tem a mesma tangente, e eles estão separados por 180 o .

No nosso problema um deles nos dará a máxima velocidade e outro a mínima, que são iguais em módulo:

f = - 2 cos ⁡ 71 o - 6 sin ⁡ 71 o = - 6,32

E,

f = - 2 cos ⁡ 251 o - 6 sin ⁡ 251 o = + 6,32

Logo V é máxima em módulo nestes dois ângulos.

Passo 5

Finalmente, repetiremos o processo do Passo 4, mas agora para a aceleração:

Em x , y = 1,2 calculamos a = ( 18,26 )

Sendo g = a ∙ n = 18 cos ⁡ θ + 26 sin ⁡ θ

d g d θ = 0

- 18 sin ⁡ θ + 26 cos ⁡ θ = 0

tan ⁡ θ = 26 18

θ = 55,3 o

Resposta

Letra a)

a x = 18 a y = 26

Letra b)

- 5,39

Letra c)

θ = 251 o

Letra d)

θ = 55,3 o

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