Exercícios Resolvidos de Equilíbrio Estático em Corpos de Mais de uma Dimensão

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Enunciado

Um atleta ao fazer exercício de flexão no solo para em equilíbrio estático na posição superior, desenhada abaixo. Seu corpo guarda um ângulo θ com a horizontal. Considere o corpo como uma barra fina, homogênea de massa M , apoiada em um ponto O localizado no ponto de contato da extremidade dos pés com o solo. Admita o centro de massa (CM) distante L do eixo de rotação. Considere os braços na vertical, de massa desprezível, fazendo uma força total F vertical sobre um ponto B nos ombros. O ponto B dista D = 4 L 3 do eixo de rotação O. A aceleração da gravidade é g .

(a) Encontre uma expressão literal para o valor da força F aplicada em B em função dos dados fornecidos.

(b) Obtenha uma expressão literal para o módulo da força normal N que o solo produz sobre os pés do atleta em função dos dados fornecidos.

Passo 1

Temos que a “barra” está em equilíbrio estático. Isso significa que ela está em repouso tanto para translação quanto para rotação.

Então, tanto o somatório de forças tem que ser zero:

F R = 0

Quanto o somatório de torques tem que ser zero:

τ R = 0

Beleza, isso é um bom ponto de partida.

Passo 2

Na letra (a), queremos achar o valor da força F .

Quais são as forças sobre a barra?

Lembrando que a força peso P → está aplicada no CM e a força normal N → é perpendicular à superfície:

Podemos pensar em usar qualquer uma daquelas duas equações de equilíbrio...

Dá um olhada na equação do somatório de forças:

F R = 0

N + F - P = 0

F = P - N

Nós já conhecemos a força peso P da barra, pois temos a massa M e a gravidade g .

Porém, não conhecemos nem a força F , que queremos, nem a força normal N . Assim, não conseguimos resolver o problema só com isso.

Passo 3

Temos que usar a equação do somatório de torques:

τ R = 0

Teoricamente, poderíamos calcular o torque em qualquer ponto da barra, já que em todos ele é nulo.

Mas, vamos calcular o torque das forças a partir do ponto de rotação O, pois assim, o torque da força normal N será nulo, já que a força está aplicada no eixo de rotação r = 0 .

Assim, teremos apenas o valor da força F como desconhecido:

τ N + τ P + τ F = 0

0 + τ P + τ F = 0

τ P + τ F = 0

Passo 4

Vamos ao cálculo dos torques τ P e τ F .

Torque é calculado como o produto vetorial entre o vetor distância r → e o vetor força F → :

τ → = r → × F →

Para a nossa barra, esses vetores ficariam assim, para a força peso, por exemplo:

Para calcular o módulo desse torque, podemos optar por duas opções, que resultam NO MESMO VALOR:

Opção 1: Decompor a força peso P → em suas componentes paralela e perpendicular ao vetor r → .

Como apenas a componente perpendicular ao raio P 2 gera torque, teríamos:

τ P 1 = 0

τ P 2 = r P 2 = r P c o s θ

Opção 2: Decompor o vetor r → nas componentes paralela e perpendicular à foça peso P → .

Como a força peso apenas gera torque perpendicularmente ao raio, só precisamos fazer isso:

Então o torque da força peso fica assim:

τ P = r c o s θ P

OBS: Se você está confuso em porque apareceu um cosseno do ângulo em vez de um seno como naquela fórmula de produto vetorial:

a → × b → = a b s e n θ

Essa fórmula funciona para o ângulo entre os dois vetores a → e b → .

No caso da barra, o ângulo entre os dois vetores seria esse ângulo α aqui:

τ P = r p s e n α

Enfim, voltando...

Passo 5

Vamos usar a opção 2.

Então, já vimos que o torque da força peso é:

τ P = r c o s θ P

A distância r é:

r = L

Então:

τ P = L c o s θ P

Vamos fazer o mesmo procedimento para a força F .

O torque da força F será:

τ F = r c o s θ F

O valor de r é:

r = 4 L 3

Então:

τ F = 4 L 3 c o s θ F

Passo 6

Vamos voltar à equação dos torques e encontrar o valor de F .

τ P + τ F = 0

Devemos tomar muito cuidade com o sinal de cada torque!

Olha aqui para as forças:

A força peso P tenta girar a barra no sentido horário enquanto a força F tenta girar a barra no sentido anti-horário.

Então, seus torques devem ter sinais opostos:

- L c o s θ P + 4 L 3 c o s θ F = 0

4 L 3 c o s θ F = L c o s θ P

Cortando c o s θ e L , temos:

4 3 F = P

F = 3 4 P

Substituindo P = M g :

F = 3 4 M g

Achamos o valor da força F para a letra (a).

Passo 7

Na letra (b), queremos o valor da força N .

Agora que já tivemos esse trabalho todo para achar essa força F , achar a força normal N fica fácil.

Poderíamos calcular o torque com relação a um ponto diferente, o que dá um pouco de trabalho...

Ou então, usar aquela primeira equação de equilíbrio de forças:

N + F - P = 0

N = P - F

Substituindo os valores das forças, temos:

N = M g - 3 4 M g

N = 1 4 M g

Ufa, essa foi mole!

Resposta

(a)

F = 3 4 M g

(b) N = 1 4 M g

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