Exercícios Resolvidos de Equilíbrio Estático em Corpos de Mais de uma Dimensão

Um atleta ao fazer exercício de flexão no solo para em equilíbrio estático na posição superior, desenhada abaixo. Seu corpo guarda um ângulo θ com a horizontal. Considere o corpo como uma barra fina, homogênea de massa M , apoiada em um ponto O localizado no ponto de contato da extremidade dos pés com o solo. Admita o centro de massa (CM) distante L do eixo de rotação. Considere os braços na vertical, de massa desprezível, fazendo uma força total F vertical sobre um ponto B nos ombros. O ponto B dista D = 4 L 3 do eixo de rotação O. A aceleração da gravidade é g .

(a) Encontre uma expressão literal para o valor da força F aplicada em B em função dos dados fornecidos.

(b) Obtenha uma expressão literal para o módulo da força normal N que o solo produz sobre os pés do atleta em função dos dados fornecidos.

Passo 1

Temos que a “barra” está em equilíbrio estático. Isso significa que ela está em repouso tanto para translação quanto para rotação.

Então, tanto o somatório de forças tem que ser zero:

F R = 0

Quanto o somatório de torques tem que ser zero:

τ R = 0

Beleza, isso é um bom ponto de partida.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na letra (a), queremos achar o valor da força F .

Quais são as forças sobre a barra?

Lembrando que a força peso P → está aplicada no CM e a força normal N → é perpendicular à superfície:

Podemos pensar em usar qualquer uma daquelas duas equações de equilíbrio...

Dá um olhada na equação do somatório de forças:

F R = 0

N + F - P = 0

F = P - N

Nós já conhecemos a força peso P da barra, pois temos a massa M e a gravidade g .

Porém, não conhecemos nem a força F , que queremos, nem a força normal N . Assim, não conseguimos resolver o problema só com isso.

Passo 3

Temos que usar a equação do somatório de torques:

τ R = 0

Teoricamente, poderíamos calcular o torque em qualquer ponto da barra, já que em todos ele é nulo.

Mas, vamos calcular o torque das forças a partir do ponto de rotação O, pois assim, o torque da força normal N será nulo, já que a força está aplicada no eixo de rotação r = 0 .

Assim, teremos apenas o valor da força F como desconhecido:

τ N + τ P + τ F = 0

0 + τ P + τ F = 0

τ P + τ F = 0

Passo 4

Vamos ao cálculo dos torques τ P e τ F .

Torque é calculado como o produto vetorial entre o vetor distância r → e o vetor força F → :

τ → = r → × F →

Para a nossa barra, esses vetores ficariam assim, para a força peso, por exemplo:

Para calcular o módulo desse torque, podemos optar por duas opções, que resultam NO MESMO VALOR:

Opção 1: Decompor a força peso P → em suas componentes paralela e perpendicular ao vetor r → .

Como apenas a componente perpendicular ao raio P 2 gera torque, teríamos:

τ P 1 = 0

τ P 2 = r P 2 = r P c o s θ

Opção 2: Decompor o vetor r → nas componentes paralela e perpendicular à foça peso P → .

Como a força peso apenas gera torque perpendicularmente ao raio, só precisamos fazer isso:

Então o torque da força peso fica assim:

τ P = r c o s θ P

OBS: Se você está confuso em porque apareceu um cosseno do ângulo em vez de um seno como naquela fórmula de produto vetorial:

a → × b → = a b s e n θ

Essa fórmula funciona para o ângulo entre os dois vetores a → e b → .

No caso da barra, o ângulo entre os dois vetores seria esse ângulo α aqui:

τ P = r p s e n α

Enfim, voltando...

Passo 5

Vamos usar a opção 2.

Então, já vimos que o torque da força peso é:

τ P = r c o s θ P

A distância r é:

r = L

Então:

τ P = L c o s θ P

Vamos fazer o mesmo procedimento para a força F .

O torque da força F será:

τ F = r c o s θ F

O valor de r é:

r = 4 L 3

Então:

τ F = 4 L 3 c o s θ F

Passo 6

Vamos voltar à equação dos torques e encontrar o valor de F .

τ P + τ F = 0

Devemos tomar muito cuidade com o sinal de cada torque!

Olha aqui para as forças:

A força peso P tenta girar a barra no sentido horário enquanto a força F tenta girar a barra no sentido anti-horário.

Então, seus torques devem ter sinais opostos:

- L c o s θ P + 4 L 3 c o s θ F = 0

4 L 3 c o s θ F = L c o s θ P

Cortando c o s θ e L , temos:

4 3 F = P

F = 3 4 P

Substituindo P = M g :

F = 3 4 M g

Achamos o valor da força F para a letra (a).

Passo 7

Na letra (b), queremos o valor da força N .

Agora que já tivemos esse trabalho todo para achar essa força F , achar a força normal N fica fácil.

Poderíamos calcular o torque com relação a um ponto diferente, o que dá um pouco de trabalho...

Ou então, usar aquela primeira equação de equilíbrio de forças:

N + F - P = 0

N = P - F

Substituindo os valores das forças, temos:

N = M g - 3 4 M g

N = 1 4 M g

Ufa, essa foi mole!

Resposta

(a)

F = 3 4 M g

(b) N = 1 4 M g

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