Exercícios Resolvidos de Equilíbrio Estático em Corpos de Mais de uma Dimensão

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Enunciado

O ponto indicado por O na figura 1 está em equilíbrio sob a ação de três forças: o peso P → do corpo e as tensões T → 1 e T → 2

  1. Desenhe o diagrama de corpo livre mostrando as forças que atuam sobre O
  2. Se P = 40 N , quais os vetores dos módulos de T → 1 e T → 2 ?

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar nessa questão, bora começar?

Letra (a) Temos um sistema em equilíbrio, não é mesmo? E o que isso significa?

Significa que a força resultante é igual a zero!

E o que isso influencia no cálculo das tensões? Se você olhar com carinho a figura 1 do enunciado, verá que as tensões fazem um ângulo com os eixos x e y (imaginários por enquanto), e assim teremos componentes verticais e horizontais dessas forças

Quando o sistema está em equilíbrio, a soma de todas as componentes y é zero, assim como todas as componentes em x . E é usando esse fato que vamos determinar as tensões!

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Letra (a): vamos olhar com mais carinho para o desenho do nosso sistema:

T 1 e em vermelho a T 2 → . Temos também em verde o peso P → representado no vetor laranja. E as retas perpendiculares em azul é o nosso sistema cartesiano. Beleza até aqui?

O nosso diagrama de corpo livre é esse aí! Desenhamos em cima do ponto O todas as forças que agem!

Bora calcular essas componentes?

Passo 3

Letra (b): agora o problema diz que P = 40 N , e pede para calcularmos os valores de T 1 e T 2 . Bom, para isso vamos retornar ao nosso diagrama de forças do passo anterior, mas agora olhando as componentes dos vetores!

Com as componentes podemos agora fazer a soma em cada direção (x e y) e igualar a zero:

  • Em y :
  • T 1 y - T 2 y - P = 0

    T 1 y = T 2 y + P

    T 1 s e n 60 = T 2 s e n 20 + 40   ( e q u a ç ã o   1 )

    Tudo bem até aqui?

  • Em x :

T 2 x - T 1 x = 0

T 2 x = T 1 x

T 2 c o s 2 0 = T 1 c o s 6 0   ( e q u a ç ã o   2 )

Sendo assim ficamos com esse sistema de equações:

T 1 s e n 60 = T 2 s e n 20 + 40 T 2 c o s 20 = T 1 c o s 60

nossa missão agora é resolver esse sistema para encontrar o módulo das tensões T 1 e T 2

Passo 4

Temos esse sistema aqui

T 1 s e n 60 = T 2 s e n 20 + 40 T 2 c o s 20 = T 1 c o s 60

Vamos isolar T 2 da segunda equação e substituir na primeira. Bora lá?

T 2 c o s 20 = T 1 c o s 60 → T 2 = T 1 c o s 60 c o s 20

E colocando na primeira

T 1 s e n 60 = T 2 s e n 20 + 40

T 1 s e n 60 = T 1 c o s 60 c o s 20 s e n 20 + 40

Organizando um pouco temos

3 2 T 1 = 1 2 T 1 t g 20 + 40

Agora multiplicando tudo por 2 e isolando T 1 :

3 T 1 - t g 20 T 1 = 80

T 1 = 80 ( 3 - t g 20 )

Oba! Primeira componente encontrada com sucesso! #partiu achar a segunda? Lembra que isolamos T 2 lá no começo desse passo?

T 2 = T 1 c o s 60 c o s 20

Agora que temos o valor de T 1 é só substituir

T 2 = T 1 c o s 60 c o s 20 = 1 2 cos ⁡ 20 . 80 3 - t g 20

T 2 = 80 2 c o s 20 3 - t g 20

Perfeito! Espero ter ajudado! Vamos praticar mais?

Passo 5

Resposta

a )   d e s e n h o

b ) T 1 = 80 3 - t g 20 ,   T 2 = 80 2 cos ⁡ 20 3 - t g 20

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