Exercícios Resolvidos de Equilíbrio Estático em Corpos de Mais de uma Dimensão

Paul A. Tipler e Gene Mosca, Física Para Cientistas e Engenheiros Volume 1, 6ª edição, Cap 12, pp 429 - 72

Uma esfera homogênea, de raio R e massa M , é mantida em repouso, por um cordão horizontal, sobre um plano inclinado de ângulo θ , como mostrado na figura abaixo. Seja R = 20   c m ,   M = 3,0   k g   e   θ = 30 ° .

  1. Qual é a tração no cordão?
  2. Qual é a força normal exercida sobre a esfera pelo plano inclinado?
  3. Qual é a força de atrito atuando sobre a esfera?

Passo 1

Primeiro, vamos marcar as forças que atuam na figura.

F n → : Força normal, perpendicular à superfície

T → : Tração da corda

F a t → : Força de atrito

m g : Força peso

Conforme mostra a figura abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora analisar as equações de equilíbrio. Mas antes disso, vamos mudar o eixo para a seguinte forma:

Por que isso?

Nossa análise vai ficar mais simples.

Já temos o ângulo de inclinação das forças T → e m g e podemos achar a decomposição desses vetores facilmente utilizando o ângulo ( lembre-se de cosseno é o lado colado ao ângulo e seno o lado oposto).

Passo 3

Agora que montamos o diagrama de forças, podemos aplicar as condições de equilíbrio.

Vamos começar aplicando ∑ τ → = 0 para um eixo de rotação no centro da esfera. Dessa forma, sabemos que os momentos gerados por m g e F n são zeros.

Perceba que a distância do centro da esfera (eixo de rotação) até a linha de atuação das forças F a t → e T → vale R . Essa distância também é perpendicular à linha de ação das duas forças. Assim, podemos aplicar, escolhendo o sentido anti-horário como positivo:

F a t R - T R = 0

F a t = T

Passo 4

Vamos agora aplicar as outras condições de equilíbrio estático. Mas, antes disso, vamos decompor as forças necessárias.

Lembrando que mudamos os eixos tradicionais lá em cima para a análise ficar mais simples.

Sendo assim, F a t → está no eixo x   e F n → no eixo y   e precisamos achar as componentes x das forças T → e m g .

Agora ficou mais tranquilo fazer essa decomposição:

T x = T c o s 30 °

T y = - T s e n 30 °

P x = - P s e n 30 °

P y = - P c o s 30 °

Passo 5

Agora podemos aplicar as outras condições de equilíbrio estático.

Vamos começar por ∑ F x = 0 para descobrirmos T .

F a t + T c o s 30 ° - m g s e n 30 ° = 0

Como F a t = T :

T + T c o s 30 ° - m g s e n 30 ° = 0

T = m g s e n 30 ° 1 + c o s 30 °

T = 3 x 9,8 x s e n 30 ° 1 + c o s 30 °

T = 7,88   N ≅ 7,9   N

Passo 6

Vamos aplicar agora ∑ F y = 0 para descobrirmos F n .

F n - T s e n 30 ° - m g c o s 30 ° = 0

F n = T s e n 30 ° + m g c o s 30 °

F n = 7,88 x s e n 30 ° + 3 x 9,8 x c o s 30 °

F n = 29,4   N

Passo 7

Pela equação de momento que aplicamos no passo 3, sabemos que:

F a t = T

F a t = 7,88   N

Resposta

  1. T = 7,88   N ≅ 7,9   N
  2. F n = 29,4   N
  3. F a t = 7,88   N ≅ 7,9   N

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