Exercícios Resolvidos de Equilíbrio Estático em Corpos de Mais de uma Dimensão

Paul A. Tipler e Gene Mosca, Física Para Cientistas e Engenheiros Volume 1, 6ª edição, Cap 12, pp 430 - 74

A figura abaixo mostra uma prancha homogênea de 20   c m de comprimento, sobre um cilindro de 4,0   c m de raio. A massa da prancha é 5   k g e a do cilindro 8   k g . O coeficiente de atrito estático entre a prancha e o cilindro é zero, enquanto os coeficientes de atrito estático entre o cilindro e o piso, e entre a prancha e o piso, não são nulos. Existem valores, para estes coeficientes de atrito estático, para os quais o sistema fique em equilíbrio estático? Caso afirmativo, que valores são esses? Caso negativo, explique o porquê de sua não existência.

Passo 1

Vamos primeiro montar o diagrama das forças do problema.

Se liga!

Calma! Ficou confuso, né? Vou explicar cada coisa.

F n p é a força normal que o chão exerce na prancha

F n c é a força normal que o chão exerce no cilindro

F a t p é a força de atrito na prancha

F a t c é a força de atrito no cilindro

P p é o peso da prancha, localizado em seu centro de massa

P c é o peso do cilindro, localizado em seu centro de massa

F p c é a força que a prancha exerce no cilindro

F c p é a força que o cilindro exerce na prancha

Por serem forças de ação e reação, elas são iguais: F p c = F c p

Muitas forças, né? Isso é chatinho. Mas isso acontece porque são dois corpos encostados no chão. Então temos peso, normal e atrito para cada um.

Não podemos esquecer do ângulo fornecido. Podemos descobrir a inclinação de F c p .

Primeiro utilizamos uma transversal cortando duas retas paralelas: ângulos alternos internos são iguais!

Depois, utilizamos o fato de que a força é perpendicular a superfície. Logo, o ângulo é de 60 ° .

Muita coisa, né? Mas já é um adianto enorme no problema.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como o enunciado pede uma relação dos coeficientes de atrito, vamos escrevê-los na forma das forças acima. Lembre-se que F n μ = F a t .

Vamos achar:

μ c : O coeficiente de atrito do cilindro com o chão

μ p : O coeficiente de atrito da prancha com o chão

Utilizando a fórmula que relaciona coeficiente de atrito com força normal e força de atrito, chegamos ao seguinte resultado:

μ c = F a t c F n c  

μ p = F a t p F n p

Percebeu que se a gente descobrir o valor dessas forças, a gente descobre os coeficientes de atrito que garantem o equilíbrio?

Passo 3

Vamos aplicar agora as condições de equilíbrio.

Vamos começar pela condição de τ = 0 na prancha.

Para isso, escolheremos o eixo de rotação no ponto em que a prancha encontra o chão. Assim, a força de atrito e a força normal não geram torque. As duas forças que geram torque na prancha são F c p e P p .

A distância de F c p até o eixo é de 15 c m .

A distância perpendicular de P p até o eixo de rotação é de 10 c o s 30 ° . Repare na figura abaixo:

Assim, podemos montar a equação do torque, escolhendo o sentido anti-horário como positivo.

τ = 0

10 c o s 30 ° P p - 15 F c p = 0

F c p = 10 c o s 30 ° m g 15 = 10 c o s 30 ° 9.8 x 5 15 = 28,3   N

Passo 4

Vamos continuar analisando a prancha.

Podemos aplicar agora as outras condições de equilíbrio:

Antes disso, vamos decompor F c p em F c p x e F c p y

Dá uma olhada na figura abaixo:

F c p x = F c p s e n 30 °

F c p y = F c p c o s 30 °

Passo 5

Vamos aplicar F y = 0 para descobrirmos o valor de F n p

F n p + F c p c o s 30 ° - m g = 0

F n p = m g - F c p c o s 30 °

F n p = 5 x 9,81 - 28,3 = 24,5   N

Passo 6

Já temos a força normal no ponto em que a prancha encontra o chão. Precisamos da força de atrito no mesmo ponto.

Vamos aplicar F x = 0 para descobrirmos o valor de F a t p .

- F a t p + F c p s e n 30 ° = 0

F a t p = F c p s e n 30 °

F a t p = 28,3 s e n 30 ° = 14,15   N

Passo 7

Agora que temos F n p e F a t p , podemos calcular o coeficiente de atrito entre a prancha e o chão.

μ p = F a t p F n p = 14,15 24,5 = 0,578

Passo 8

Falta descobrirmos o coeficiente de atrito estático entre o cilindro e o chão.

Então, temos que encontrar F a t c e F n c .

Para isso vamos utilizar as equações de equilíbrio para o cilindro.

Já sabemos que por serem forças de ação e reação, as forças F p c e F c p são iguais.

F p c = 28,3   N

A força F p c x tem o mesmo módulo da força F c p x e sentido contrário.

A força F p c y tem o mesmo módulo da força F c p y e sentido contrário.

Passo 9

Vamos aplicar F y = 0 para o cilindro para descobrirmos o valor de F n p .

F n p - M g - F p c c o s 30 ° = 0

F n p = M g + F p c c o s 30 °

F n p = 8 x 9,8 + 28,3 c o s 30 ° = 103   N

Passo 10

Já temos a força normal no ponto em que o cilindro encontra o chão. Precisamos da força de atrito no mesmo ponto.

Vamos aplicar F x = 0 para descobrirmos o valor de F a t c .

+ F a t c - F p c s e n 30 ° = 0

F a t c = F p c s e n 30 °

F a t c = 28,3 s e n 30 ° = 14,15   N

Passo 11

Agora que já temos F a t c e F n c podemos achar o coeficiente de atrito entre o cilindro e o chão.

μ c = F a t c F n c = 14,15 103 = 0,14   N

Fim!!! Achamos os valores dos coeficientes de atrito que garantem o equilíbrio estático!

Resposta

Coeficiente de atrito estático entre a prancha e o chão:

μ p = 0,578

Coeficiente de atrito estático entre o cilindro e o chão:

μ c = 0,14   N

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