Exercícios Resolvidos de Erro Absoluto de Estimação

Ver Teoria

Enunciado

Deseja-se estimar simultaneamente:

i) A média   μ , em   m g / l , da concentração da substância   S em determinado produto químico; e

ii) A proporção p de unidades desse produto nas quais a concentração de S   é superior a 5,5   m g / l .

Para isso foi coletada uma amostra piloto composta por 10 unidades amostrais desse produto, para as quais a concentração da substância S , em m g / l , foi medida. Eis os resultados:

12,03   7,75   6,97   7,06   5,86   7,99   4,30   6,12   4,43   5,73

Para simplificar os cálculos, informam-se ∑ x i = 68,24   ;   ∑ x i 2 = 509,79 m g l 2

Pergunta-se:

(a) Quais são as estimativas da média μ   e do desvio padrão σ da concentração de   S , bem como da proporção p , com base na amostra piloto?

(b) Qual o tamanho mínimo de uma nova amostra com base na qual se possa estimar a proporção   p de forma que o erro absoluto seja inferior a 0,08 com 95 % de probabilidade?

(c) Se for utilizada essa mesma amostra dimensionada no item (b), qual a probabilidade de que na estimação de μ seja cometido um erro máximo de 0,3   m g / l ?

Admita que o tamanho da amostra calculado no item (b) é suficientemente grande para que seja válida a aproximação fornecida pelo Teorema Central do Limite.

Passo 1

a)

Aqui basta calcularmos nossa média amostral, desvio padrão amostral, e proporção amostral! Aplicando as fórmulas:

x - = ∑ x i n = 68,24 10 = 6,82

s = ∑ x i 2 - ∑ x i 2 n n - 1 = 509,79 - 68,24 2 10 10 - 1 = 2,23

p ^ = 8 10 = 0,8

Passo 2

b)

Usando a fórmula de dimensionamento da amostra:

n = z 1 - α 2 d 2 p 1 - p

Onde α vai ser:

1 - α = 0,95 → α = 0,05

Já que 95% foi o nível de confiança pedido.

Então:

z 1 - α 2 = z 1 - 0,05 2 = z 0,975 = 1,96

Substituindo tudo na fórmula:

n = 1,96 0,08 2 8 1 - 0,8 ≈ 97

Passo 3

c)

Lembrando que o erro de estimação é a diferença entre o valor do parâmetro populacional e do parâmetro amostral, o que queremos é:

P μ - X ^ < 0,3

Para padronizar isso aí, temos que dividir os dois lados por σ n somente, pois a média μ já está ali no numerador. Usando s como estimador para σ :

P Z < 0,3 2,23 97 = P Z < 1,3 2 = 2 ϕ 1,32 - 1 = 0,82

Resposta

a)

x - = 6,82

s = 2,23

p ^ = 0,8

b)

97

c)

0,82

Exercícios de Livros Relacionados

Definimos a variável e =X – μ como sendo o erro amostral de média. Suponha que a variância dos salários de uma certa região seja 400 reais². Qual deve ser o tamanho da amostra para que 95% dos erros a
Os dados da Tab. 14.7 foram obtidos para a distribuição da espessura do lenho em postes telefônicos. (W. A. Shewhart, Economic Control of Quality of Manufactured Productz, Macmillan and Co., New York,
Uma variável aleatória X tem fdp f x = β + 1 x β , 0x1 . Calcule a estimativa de MV de β , baseada numa amostra X1, ..., Xn. Calcule a estimativa quando os valores amostrais forem: (0,3;0,8;0,27;0,35;
Um procedimento é realizado até que um particular evento A ocorra pela primeira vez. Em cada repetição, P A = p ; suponha que sejam necessárias n1 repetições. Depois, esse experimento é repetido e, ag
Suponha que 200 observações independentes X 1 , … ,X 200 sejam obtidas de uma variável aleatória X. Sabe-se que ∑ X i = 300 e que ∑ X i ² = 3 754 ² . Empregando esses valores, Calcule uma estimativa n