Exercícios Resolvidos de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)

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Enunciado

Físicos gostam de trocar s e n ( x ) por x em todos os lugares. Suponha que você é um físico que sabe matemática e justifique esse seu comportamento, explicando sua validade para valores bem pequenos de x . Qual o erro que você comete quando faz essa troca para x = π 6 .

Passo 1

Oi pessoal, como vocês estão?

Nessa questão temos um problema bem interessante. Em muitas questões de física, o pessoal apela um pouco e usa que se x é muito pequeno:

s e n ( x ) ≈ x

Será que isso é muita apelação ou é razoável?

É justamente o que o enunciado nos pede para responder, utilizando o polinômio de Taylor.

Depois, vamos calcular o erro dessa aproximação para x = π 6 .

Pra verificar o que o enunciado está pedindo, vamos escrever o polinômio de Taylor até o grau 3 para a função:

f x = s e n ( x )

Vamos fazer isso centrado em 0 , pois para valores muito pequenos de x , temos x próximo de 0 .

Daí, a expressão do polinômio é dada por:

p 3 x = f 0 +   f ' 0 ⋅ x + f ' ' x 0 2 ⋅ x 2 + f ' ' ' 0 3 ! ⋅ x 3

Massa! Vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas:

f ' x = s e n   x '

= c o s ⁡ ( x )

Daí:

f ' 0 = 1

Derivando mais uma vez:

f ' ' x = cos ⁡ x '

=   - s e n ( x )

Logo:

f ' ' 0 = 0

Derivando mais uma vez, temos:

f ' ' ' x = - s e n x '

=   - cos ⁡ x

Daí:

f ' ' ' 0 = - 1

Excelente!

Passo 3

Agora vamos substituir esses nossos resultados na expressão para p 3 ( x ) :

p 3 x = 0 + x + 0 2 ⋅ x 2 + - 1 ⋅ x 3 6

= x - x 3 6

Daí, pensa comigo, se x é muito pequeno, então:

x 3 ≪ x

Logo:

x 3 ≈ 0

Assim, chegamos a conclusão que:

p 3 x = p 1 ( x )   x

Se tomássemos polinômios de Taylor de grau maior, essa aproximação seria ainda mais forte nos demais termos. E, como p 1 ( x ) é uma aproximação para f x = s e n ( x ) , temos:

s e n ( x ) ≈ x

Se x é muito próximo de 0 .

Legal né?!

Passo 4

Agora vamos calcular o erro dessa aproximação para x = π 6 .

s e n π 6 = 1 2

Daí:

ε = p 1 π 6 - s e n π 6

= π 6 - 1 2

Logo:

ε = 0,024

É um erro bem pequeno né pessoal? Mas, x = π 6   ~   30 ° é um ângulo grande até, não costumamos usar a aproximação em casos como esse.

Quando x < 10 ° essa aproximação fica bem bem legal mesmo 😊

É isso pessoal, obrigado pela atenção e até a próxima 😉

Resposta

Resposta no texto.

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Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro. f x = 4,1
Calcule um valor aproximado e avalie o erro.root(5)(32,002)
Calcule um valor aproximado e avalie o erro.sen 0,02