Exercícios Resolvidos de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)

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Enunciado

Sejam f : ℝ → ℝ uma função infinitamente derivável, a um número real fixado e, para cada n ≥ 1 ,   P n o polinômio de Taylor de ordem n de f em torno de x 0 = a . Seja ainda E n ( x ) = f ( x ) - P n ( x ) o erro cometido na aproximação de f ( x ) por P n ( x ) . Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique.

( b )   Para todo n ≥ 1 temos

E n + 1 ( x ) ≤ E n ( x ) , ∀ x ∈ ℝ .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Temos aqui uma função definida tal que f : ℝ → ℝ , que pode ser derivada infinitamente, de forma que fixando um valor a ∈ ℝ , podemos escrever para cada n ≥ 1 , um polinômio de Taylor P n , em que n é a ordem do polinômio, e o mesmo é escrito em torno de x 0 = a . Também podemos definir o erro da aproximação como

E n ( x ) = f ( x ) - P n ( x )

Precisamos verificar se a seguinte afirmação é verdadeira

( b )   Para todo n ≥ 1 temos

E n + 1 ( x ) ≤ E n ( x ) , ∀ x ∈ ℝ .

Vamos verificar a afirmação acima! E, para isso, vamos usar o formato explícito de um polinômio de Taylor como

P n ( x ) = ∑ i = 0 n f ( i ) ( a ) i ! ( x - a ) i

Bora lá!

Passo 2

Usando a definição do polinômio de Taylor na definição de erro, temos que

E n ( x ) = f ( x ) - ∑ i = 0 n f ( i ) ( a ) i ! ( x - a ) i

e, também que

E n + 1 ( x ) = f ( x ) - ∑ i = 0 n + 1 f ( i ) ( a ) i ! ( x - a ) i

Fazendo a diferença das expressões acima temos que

E n + 1 ( x ) - E n ( x ) = ∑ i = 0 n f ( i ) ( a ) i ! ( x - a ) i - ∑ i = 0 n + 1 f ( i ) ( a ) i ! ( x - a ) i

se expandirmos o termo de n + 1 no segundo somatório temos que

E n + 1 ( x ) - E n ( x ) = ∑ i = 0 n f ( i ) ( a ) i ! ( x - a ) i - ∑ i = 0 n f ( i ) ( a ) i ! ( x - a ) i - f ( n + 1 ) ( a ) ( n + 1 ) ! ( x - a ) n + 1

ou seja, temos que

E n + 1 ( x ) - E n ( x ) = - f ( n + 1 ) ( a ) ( n + 1 ) ! ( x - a ) n + 1

Note então que a afirmação é falsa!!! Note que se o termo

f ( n + 1 ) ( a ) ≤ 0 e ( x - a ) n + 1 ≥ 0

então teremos que

E n + 1 ( x ) - E n ( x ) ≥ 0

ou seja, o erro aumentou já que

E n + 1 ( x ) ≥ E n ( x )

Bora para a próxima!

Resposta

Falsa!

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Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro. f x = 4,1
Calcule um valor aproximado e avalie o erro.root(5)(32,002)
Calcule um valor aproximado e avalie o erro.sen 0,02