Exercícios Resolvidos de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)

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Enunciado

Sejam f : ℝ → ℝ uma função infinitamente derivável, a um número real fixado e, para cada n ≥ 1 ,   P n o polinômio de Taylor de ordem n de f em torno de x 0 = a . Seja ainda E n ( x ) = f ( x ) - P n ( x ) o erro cometido na aproximação de f ( x ) por P n ( x ) . Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique.

( a )   P n é o único polinômio que satisfaz.

l i m x → a f ( x ) - P n ( x ) ( x - a ) n = 0 .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Temos aqui uma função definida tal que f : ℝ → ℝ , que pode ser derivada infinitamente, de forma que fixando um valor a ∈ ℝ , podemos escrever para cada n ≥ 1 , um polinômio de Taylor P n , em que n é a ordem do polinômio, e o mesmo é escrito em torno de x 0 = a . Também podemos definir o erro da aproximação como

E n ( x ) = f ( x ) - P n ( x )

Precisamos verificar se a seguinte afirmação é verdadeira

( a )   P n é o único polinômio que satisfaz.

l i m x → a f ( x ) - P n ( x ) ( x - a ) n = 0 .

Vamos verificar a afirmação acima! E, para isso, vamos usar o formato explícito de um polinômio de Taylor como

P n ( x ) = ∑ i = 0 n f ( i ) ( a ) i ! ( x - a ) i

Bora lá!

Passo 2

Usando a definição do polinômio de Taylor em nosso limite temos que

l i m x → a f ( x ) - ∑ i = 0 n f ( i ) ( a ) i ! ( x - a ) i ( x - a ) n = 0

se separarmos o n -ésimo termo na soma, temos que

f ( x ) - ∑ i = 0 n f ( i ) ( a ) i ! ( x - a ) i ( x - a ) n = f ( x ) - ∑ i = 0 n - 1 f ( i ) ( a ) i ! ( x - a ) i - f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n ( x - a ) n = f ( x ) - ∑ i = 0 n - 1 f ( i ) ( a ) i ! ( x - a ) i ( x - a ) n - f ( n ) ( a ) n !

Ou seja, precisamos mostrar que

l i m x → a f ( x ) - ∑ i = 0 n - 1 f ( i ) ( a ) i ! ( x - a ) i ( x - a ) n - f ( n ) ( a ) n ! = 0

como o segundo termo independe de x , temos que

l i m x → a f ( x ) - ∑ i = 0 n - 1 f ( i ) ( a ) i ! ( x - a ) i ( x - a ) n = f ( n ) ( a ) n !

Será que esta afirmação é verdadeira? Vamos tentar demonstrar!

Passo 3

Primeiro vamos definir a seguinte função

Q ( x ) = ∑ i = 1 n - 1 f ( i ) ( a ) i ! ( x - a ) i

e, também que

g ( x ) = ( x - a ) n

O segredo está em verificar que os coeficientes de Taylor da função Q ( x ) são da forma

Q ( k ) ( a ) = f ( k ) ( a )

contanto que mantenhamos k ≤ n - 1 . E, uma vez que podemos derivar k vezes a função x para obter

g ( k ) ( x ) = n ( n - 1 ) ( n - 2 ) . . . ( n - ( k - 1 ) ) ( x - a ) n - k = n ( n - 1 ) ( n - 2 ) . . . ( n - k + 1 ) ( x - a ) ( x - a ) ( n - k )

no numerador podemos identificar que

n ( n - 1 ) ( n - 2 ) . . . ( n - ( k - 1 ) ) ( x - a ) n - k = n ! ( n - k ) !

se ficar difícil visualizar vai testando para valores pequenos de k !! Essas relações vão nos ajudar bastante! Vem comigo!

Passo 4

As relações obtidas anteriormente nos garantem que

l i m x → a [ f ( x ) - Q ( x ) ] = f ( a ) - Q ( a ) = 0

l i m x → a [ f ( 1 ) ( x ) - Q ( 1 ) ( x ) ] = f ( 1 ) ( a ) - Q ( 1 ) ( a ) = 0

l i m x → a [ f ( 2 ) ( x ) - Q ( 2 ) ( x ) ] = f ( 2 ) ( a ) - Q ( 2 ) ( a ) = 0

e, assim por diante até que

l i m x → a [ f ( n - 2 ) ( x ) - Q ( n - 2 ) ( x ) ] = f ( n - 2 ) ( a ) - Q ( n - 2 ) ( a ) = 0

e, como temos que

l i m x → a g ( x ) = l i m x → a g ( 1 ) ( x ) = l i m x → a g ( 2 ) ( x ) = . . . = l i m x → a g ( n - 2 ) ( x ) = 0

de forma que é possível aplicar a regra de L’Hospital n - 1 vezes sobre o limite

l i m x → a f ( x ) - Q ( x ) ( x - a ) n = l i m x → a f ( n - 1 ) ( x ) - f ( n - 1 ) ( a ) n ! ( x - a )

que lembrando a definição de derivada nos diz exatamente que

l i m x → a f ( n - 1 ) ( x ) - f ( n - 1 ) ( a ) n ! ( x - a ) = 1 n ! f ( n )

Ou seja, podemos garantir que

l i m x → a f ( x ) - P n ( x ) ( x - a ) n = 0

A alternativa é verdadeira! Vamos para a próxima!

Resposta

Verdadeira!

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Calcule um valor aproximado e avalie o erro.sen 0,02