Exercícios Resolvidos de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)

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Enunciado

Seja f x = arctan ⁡ x .

  1. Determine o polinômio de Taylor de grau 7 de f x em torno de x = 0 ;
  2. Usando (a), calcule arctan ⁡ 0,3   e estime o erro;
  3. Determine o polinômio de Taylor de grau 14 de g x = arctan ⁡ x 2 em torno de x = 0 . (Sugestão: use o polinômio de Taylor de f x = arctan ⁡ x .)

Passo 1

(a)

É camarada, não tem jeito... Temos que calcular 7 derivadas da função mesmo. Então mão na massa!

Vamos uma derivada por passo:

f ' x = 1 1 + x 2

Então em x = 0 :

f ' 0 = 1

Passo 2

Segunda derivada:

f ' ' x = - 1 + x 2 ' 1 + x 2 2

⇒ f ' ' x = - 2 x 1 + x 2 2

⇒ f ' ' 0 = 0

Passo 3

Pelas regra do quociente e da cadeia, a terceira derivada é:

f ' ' ' x = - 2 1 + x 2 2 - 2 x . 2 1 + x 2 2 x 1 + x 2 4

f ' ' ' x = - 2 1 + x 2 2 - 8 x 2 1 + x 2   1 + x 2 4

Botando 1 + x 2 em evidência:

f ' ' ' x = - 1 + x 2 2 1 + x 2 - 8 x 2 1 + x 2 4

f ' ' ' x = - 2 1 + x 2 + 8 x 2 1 + x 2 3

⇒ f ' ' ' x = 6 x 2 - 2 1 + x 2 3

⇒ f ' ' ' 0 = - 2

Passo 4

Vamos passar a quarta marcha! De novo, regra do quociente e da cadeia:

f I V x = 12 x 1 + x 2 3 - 6 x 2 - 2 . 3 1 + x 2 2 . 2 x 1 + x 2 6

f I V x = 12 x 1 + x 2 3 - 6 x 6 x 2 - 2 1 + x 2 2 1 + x 2 6

Botando 1 + x 2 2 em evidência:

f I V x = 1 + x 2 2 12 x 1 + x 2 - 6 x 6 x 2 - 2 1 + x 2 6

f I V x = 12 x + 12 x 3 - 36 x 3 + 12 x 1 + x 2 4

f I V x = 24 x - 24 x 3 1 + x 2 4

⇒ f I V 0 = 0

Passo 5

Bora que já passou da metade:

f V x = 24 - 72 x 2 1 + x 2 4 - 24 x - 24 x 3 . 4 1 + x 2 3 . 2 x 1 + x 2 8

f V x = 24 - 72 x 2 1 + x 2 4 - 8 x 24 x - 24 x 3 1 + x 2 3 1 + x 2 8

Botando 1 + x 2 3 em evidência:

f V x = 1 + x 2 3 24 - 72 x 2 1 + x 2 - 8 x 24 x - 24 x 3 1 + x 2 8

f V x = 24 + 24 x 2 - 72 x 2 - 72 x 4 - 8.24 x 2 + 8.24 x 4 1 + x 2 5

f V x = 24 1 + x 2 - 3 x 2 - 3 x 4 - 8 x 2 + 8 x 4 1 + x 2 5

f V x = 24 5 x 4 - 10 x 2 + 1 1 + x 2 5

⇒ f V 0 = 24

Passo 6

[inserir frase motivacional aqui]:

f V I x = 24 20 x 3 - 20 x 1 + x 2 5 - 5 x 4 - 10 x 2 + 1 . 5 1 + x 2 4 . 2 x 1 + x 2 10

f V I x = 24 20 x 3 - 20 x 1 + x 2 5 - 10 x 5 x 4 - 10 x 2 + 1 1 + x 2 4 1 + x 2 10

Botando 1 + x 2 4 em evidência:

f V I x = 24 1 + x 2 4 20 x 3 - 20 x 1 + x 2 - 10 x 5 x 4 - 10 x 2 + 1 1 + x 2 10

f V I x = 24 20 x 3 + 20 x 5 - 20 x - 20 x 3 - 50 x 5 + 100 x 3 - 10 x 1 + x 2 6

f V I x = 24 0 2 x 3 + 2 x 5 - 2 x - 2 x 3 - 5 x 5 + 10 x 3 - x 1 + x 2 6

f V I x = 24 0 - 3 x 5 + 10 x 3 - 3 x 1 + x 2 6

⇒ f V I 0 = 0

Passo 7

Só falta uma!

f V I I x = 240 - 15 x 4 + 30 x 2 - 3 1 + x 2 6 - - 3 x 5 + 10 x 3 - 3 x . 6 1 + x 2 5 . 2 x 1 + x 2 12

f V I I x = 240 - 15 x 4 + 30 x 2 - 3 1 + x 2 6 + 12 x 3 x 5 - 10 x 3 + 3 x 1 + x 2 5 1 + x 2 12

É sempre a mesma coisa...botando o 1 + x 2 5 em evidência:

f V I I x = 240 1 + x 2 5 - 15 x 4 + 30 x 2 - 3 1 + x 2 + 12 x 3 x 5 - 10 x 3 + 3 x 1 + x 2 12

f V I I x = 240 - 15 x 4 - 15 x 6 + 30 x 2 + 30 x 4 - 3 - 3 x 2 + 36 x 6 - 120 x 4 + 36 x 2 1 + x 2 7

Repare que dá pra fatorar por 3 o numerador, aí fica:

f V I I x = 240 . 3 - 5 x 4 - 5 x 6 + 10 x 2 + 10 x 4 - 1 - x 2 + 12 x 6 - 40 x 4 + 12 x 2 1 + x 2 7

f V I I x = 720 7 x 6 - 3 5 x 4 + 21 x 2 - 1 1 + x 2 7

⇒ f V I I x = - 720

Aeeeeeeeee!!

Passo 8

Uma observação importante: em x = 0 as derivadas pares de f valem todas zero:

f ' ' 0 = f I V 0 = f V I 0 = f 2 k 0 = 0 ,     k ∈ N

Por outro lado, as derivadas ímpares, de ordem 2 k + 1 , são iguais a ± 2 k ! :

f ' 0 = 1 = 0 !

f ' ' ' 0 = - 2 = - 2 !

f V 0 = 24 = 4 !

f V I I 0 = - 720 = - 6 !

Mais precisamente:

f 2 k + 1 0 = - 1 k 2 k !

Assumindo que esse padrão é válido, podemos calcular qualquer derivada de f em zero, por exemplo:

f 2016 0 = 0

f 23 0 = - 11 !

Passo 9

Enfim, vamos ao que interessa, que é o polinômio de Taylor:

P 7 x = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 x 2 2 + f ' ' ' 0 x 3 3 ! + f I V 0 x 4 4 ! + f V 0 x 5 5 ! + f V I 0 x 6 6 ! + f V I I 0 x 7 7 !

Eliminando as derivadas pares e substituindo as derivadas ímpares por seus respectivos valores:

P 7 x = x - 2 x 3 3 ! + 24 x 5 5 ! - 720 x 7 7 !

Passo 10

E isso fica facinho de calcular sem calculadora se aproveitarmos que:

f 2 k + 1 0 = - 1 k 2 k !

Saca só:

P 7 x = x - 2 ! x 3 3 ! + 4 ! x 5 5 ! - 6 ! x 7 7 !

P 7 x = x - 2 ! x 3 2 ! . 3 + 4 ! x 5 4 ! . 5 - 6 ! x 7 6 ! . 7

⇒ P 7 x = x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7

Pronto, esse é o polinômio de Taylor de grau 7 da função arco tangente! Até que enfim! :)

Passo 11

(b)

Usando o nosso lindo polinômio, temos que:

arctan ⁡ 0,3 ≈ 0,3 - 0,3 3 3 + 0,3 5 5 - 0,3 7 7 ≈ 0,29145 4757

Passo 12

Agora temos que calcular o erro, que é dado pela fórmula:

E x = f n + 1 c x - x 0 n + 1 n + 1 !

Onde n é o grau do polinômio centrado em x 0 , e c é um valor entre x 0 e x .

Ou seja, no nosso caso:

n = 7 ,   x 0 = 0 ,   x = 0,3   e   c ∈ 0 ,   0,3

⇒ E 0,3 = f V I I I c . 0,3 8 8 !

Opa opa, e essa derivada oitava aí?

É meu amigo.... Até sabemos que f V I I I 0 = 0 , mas isso não basta, vamos ter que calcular essa derivada mesmo, sinto muito...

Passo 13

Simbora! Afinal o que é uma derivada pra quem já calculou 7?

Lembrando que:

f V I I x = 720 7 x 6 - 35 x 4 + 21 x 2 - 1 1 + x 2 7

Temos que:

f V I I I x = 720 42 x 5 - 140 x 3 + 42 x 1 + x 2 7 - 7 x 6 - 35 x 4 + 21 x 2 - 1 . 7 1 + x 2 6 . 2 x 1 + x 2 14

f V I I I x = 720 42 x 5 - 140 x 3 + 42 x 1 + x 2 7 - 14 x 7 x 6 - 35 x 4 + 21 x 2 - 1 1 + x 2 6 1 + x 2 14

Como sempre, botamos o 1 + x 2 6 em evidência:

f V I I I x = 720 1 + x 2 6 42 x 5 - 140 x 3 + 42 x 1 + x 2 - 14 x 7 x 6 - 35 x 4 + 21 x 2 - 1 1 + x 2 14

f V I I I x = 720 42 x 5 + 42 x 7 - 140 x 3 - 140 x 5 + 42 x + 42 x 3 - 98 x 7 + 490 x 5 - 294 x 3 + 14 x 1 + x 2 8

f V I I I x = 720 - 56 x 7 + 392 x 5 - 392 x 3 + 56 x 1 + x 2 8

Passo 14

Fatorando por 56 (nunca achei que fosse escrever isso um dia rs):

f V I I I x = 720 . 56 - x 7 + 7 x 5 - 7 x 3 + x 1 + x 2 8

⇒ f V I I I x = 40320 - x 7 + 7 x 5 - 7 x 3 + x 1 + x 2 8

Passo 15

Ok, voltando ao nosso erro:

E 0,3 = f V I I I c . 0,3 8 8 !

⇒ E 0,3 ≈ f V I I I c . 1,627.10 - 9

O problema é esse c , que pode ser qualquer valor entre 0 e 0,3 . Então o certo a fazer seria achar c tal que f V I I I c seja máxima, assim com esse c teríamos

E 0,3 ≤ f V I I I c . 1,627.10 - 9

E pra achar o ponto de máximo de f V I I I x entre 0 e 0,3 temos que fazer o quê? Derivar! No ponto de máximo a derivada nona vale zero!

Mas calma aí Pelé, por mais sádico que seja o professor que elaborou essa questão duvido muito que ele queria que ela fosse resolvida assim. Isso porque as contas seriam absurdas, elas envolveriam resolver uma equação de grau 8.

Então não precisamos mais derivar, ok?

Passo 16

Em vez disso vamos fazer o seguinte: calcular f V I I I 0,3 e daí estimar mais ou menos o valor de f V I I I c . Temos que

f V I I I 0,3 = 40320 - 0,3 7 + 7 . 0,3 5 - 7 . 0,3 3 + 0,3 1 + 0,3 2 8 ≈ 2586

Assim dá pra ter uma noção das ordens de grandeza, sacou?

Então vamos chutar por exemplo:

f V I I I c = 10000

Passo 17

Assim:

E 0,3 ≈ 10000 . 1,627.10 - 9

⇒ E 0,3 ≈ 1,627.10 - 5

Estamos no campo da especulação né, então pra resposta final vamos dizer que:

E 0,3 < 10 - 4

Passo 18

(c)

Ok, essa letra (c) está me fazendo questionar o que falei antes sobre o nível de sadismo do professor que elaborou a questão.

Mas relaxa, pode ficar tranquilo que ninguém aqui vai calcular 14 derivadas de arctan ⁡ x 2 .

Pra essa letra vamos ter que usar um pulo do gato maroto. Temos:

f x = arctan ⁡ x g x = arctan ⁡ x 2 ⇒ g x = f x 2

Acompanhou?

Passo 19

Infelizmente, agora não tem como explicar direito, temos que aceitar a matemática... (melhor do que calcular 14 derivadas pelo menos)

Ela nos diz que o polinômio de grau 14 de f x 2 é igual ao polinômio de grau 7 de f x tomado em x 2 . Deu pra seguir?

Sendo P 7 x o polinômio de Taylor de grau 7 de f x :

P 7 x = x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7

Temos que o polinômio de grau 14 de f x 2 = g x é:

P 7 x 2 = x 2 - x 2 3 3 + x 2 5 5 -   x 2 7 7

Portanto, o tal polinômio que queremos é:

x 2 - x 6 3 + x 10 5 - x 14 7

Agora sim pode comemorar que acabou a questão!!

Resposta

(a)

arctan ⁡ x ≈ x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7

(b)

arctan ⁡ 0,3 ≈ 0,291454757

E 0,3 < 10 - 4

(c)

arctan ⁡ x 2 ≈ x 2 - x 6 3 + x 10 5 - x 14 7

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