Exercícios Resolvidos de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)

USP - Cálculo 1 - P3 2011.1 – 4

Seja f x = ln ( 3 x + 1 ) , com x > - 1 3

a ) Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 de f em torno do ponto x 0 = 0 .

b ) Usando o item ( a ) , calcule um valor aproximado para ln ( 1,03 ) e para ln ( 0,97 ) . Verifique que o erro em ambas as aproximações é menor do que 10 - 6 .

Passo 1

a ) Primeiro vamos achar o polinômio de grau 3 da função f x = ln ( 3 x + 1 ) .

A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem 3 da função f x :

f ' x = 3 x + 1 ' 3 x + 1 = 3 3 x + 1 = 3 3 x + 1 - 1

f ' ' x = 3 - 1 3 x + 1 - 1 - 1 . 3 x + 1 ' = - 3.3 3 x + 1   - 2 = - 9 3 x + 1 - 2

f ' ' ' x = - 9 - 2 3 x + 1 - 2 - 1 . 3 x + 1 ' = 18.3 3 x + 1   - 3 = 54 3 x + 1 - 3

Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:

f 0 = ln ( 3.0 + 1 ) = ln 0 + 1 = ln 1 = 0

f ' 0 = 3 3.0 + 1 - 1 = 3 1 - 1 = 3

f ' '   0 = - 9 3.0 + 1 - 2 = - 9 1 - 2 = - 9

f ' ' ' 0 = 54 3.0 + 1 - 3 = 54 1 - 3 = 54

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar cada termo da função:

f 0 = 0

f ' 0 x - 0 1 1 ! = 3 x - 0 1 ! = 3 x

f ' ' 0 x - 0 2 2 ! = - 9 x 2 2 ! = - 9 x 2 2

f ' ' ' 0 x - 0 3 3 ! = 54 x 3 3 ! = 54 x 3 6 = 9 x 3 = 9 x 3

Passo 3

O polinômio vai ficar:

P 3 x = 0 + 3 x - 9 x 2 2 + 9 x 3

P 3 x = 3 x - 9 x 2 2 + 9 x 3

Passo 4

b ) Vamos agora ao valor de ln 1,03 . Repare que f x = ln 1,03 , quando 3 x + 1 = 1,03

Então queremos o polinômio em x = 0,01 e não em x = 1,03 . Fique atento a isso, devemos sempre ver com cuidado o valor de x que devemos usar. Então, vamos fazer:

ln 1,03 = f 0,01 P 3 0,01 = 3.0,01 - 9 0,01 2 2 + 9 . 0,01 3

ln 1,03 P 3 0,01 = 0,03 - 9.0,0001 2 + 9.0,000001

ln 1,03 P 3 0,01 = 0,03 - 0,0009 2 + 0,000009

ln 1,03 P 3 0,01 = 0,03 - 0,00045 + 0,000009

ln 1,03 0,029559

Passo 5

Vamos agora ao valor de ln 0,97 . Repare que f x = ln 0,97 quando 3 x + 1 = 0,97 .

Então queremos o polinômio em x = - 0,01 e não em x = 0,97 :

ln 0,97 = f - 0,01 P 3 - 0,01 = 3 . - 0,01 - 9 - 0,01 2 2 + 9 . - 0,01 3

ln 0,97 P 3 - 0,01 = - 0,03 - 9.0,0001 2 + 9 . - 0,000001

ln 0,97 P 3 - 0,01 = - 0,03 - 0,0009 2 - 0,000009

ln 0,97 P 3 - 0,01 = - 0,03 - 0,00045 - 0,000009

ln 0,97 - 0,030459

Passo 6

Vamos calcular o erro possível para isso agora. Primeiro vamos achar o termo do erro. Como temos um polinômio de grau 3 o erro vai ser o termo de ordem 4 :

E x = f i v c x - 0 4 4 !  

Para c entre 0 e x , vamos começar achando a derivada de f i v :

f i v x = 54 - 3 3 x + 1 - 3 - 1 . 3 x + 1 ' = - 162.3 3 x + 1 - 4 = - 486 3 x + 1 - 4

Vamos tomar essa derivada em c :

f i v c = - 486 3 c + 1 - 4

O erro vai ficar:

E x = - 486 3 c + 1 - 4 x 4 4 ! = - 486 3 c + 1 - 4 x 4 24 = - 81 4 3 c + 1 - 4 x 4

Passo 7

Vamos ver esse erro para os dois valores de x que temos. Primeiro para x = 0,01 :

E 0,01 = - 81 4 3 c + 1 - 4 0,01 4 = 81 4 10 - 8 3 c + 1 - 4

Vamos analisar esse erro. Repare que vamos ter:

0 < c < 0,01

0 + 1 < 3 c + 1 < 0,03 + 1

Como o expoente de 3 c + 1 é negativo, quando passarmos o expoente a ordem vai mudar:

1 - 4 > 3 c + 1 - 4 > 1,03 - 4

Vamos pegar aqui apenas o valor maior que é o que nos interessa. Saber que o erro é maior que algo não é tão útil assim.

1 > 3 c + 1 - 4

Multiplicando por 81 4 10 - 8 :

81 4 10 - 8 > 81 4 10 - 8 3 c + 1 - 4

E 0,01 < 81 4 10 - 8

Como queremos que apareça 10 - 6 vamos fazer:

81 4 < 100

81 4 10 - 8 < 100 . 10 - 8

81 4 10 - 8 < 10 - 6

Vamos ter:

E 0,01 < 81 4 10 - 8 < 10 - 6

Passo 8

Vamos ver esse erro para os dois valores de x que temos. Primeiro para x = - 0,01 :

E - 0,01 = - 81 4 3 c + 1 - 4 - 0,01 4 = 81 4 10 - 8 3 c + 1 - 4

Vamos analisar esse erro. Repare que vamos ter:

0 > c > - 0,01

Isso acontece porque temos um valor negativo de x :

0 + 1 > 3 c + 1 > - 0,03 + 1

Como o expoente de 3 c + 1 é negativo, quando passarmos o expoente, a ordem vai mudar:

1 - 4 < 3 c + 1 - 4 < 0,97 - 4

Vamos pegar aqui apenas o valor maior, que é o que nos interessa.

3 c + 1 - 4 < 0,97 - 4

Queremos um número nessa bagunça ,então repare que:

0,97 - 4 < 0,9 - 4 = 0,81 - 2 < 0,8 - 2 = 0,64 - 1 < 0,5 - 1 = 2

Então, vamos ter:

3 c + 1 - 4 < 2

Nós queremos um número, porque é mais fácil fazer essas contas com um número. A parada aqui é ir vendo coisas em comum. O objetivo é tentar chegar no bendito 0,5 - 1 .

Multiplicando por 81 4 10 - 8 :

2 81 4 10 - 8 > 81 4 10 - 8 3 c + 1 - 4

E - 0,01 < 81 2 10 - 8

Como vimos antes, vamos fazer:

81 2 < 100

Então:

E - 0,01 < 81 2 10 - 8 < 100 . 10 - 8

E - 0,01 < 10 - 6

Como queremos que apareça 10 - 6 vamos fazer:

0,97 >

Como vimos com potencia negativa essa desigualdade vira:

0,97 - 4 < 0,1 - 4

81 4 < 100

81 4 10 - 8 < 100 . 10 - 8

81 4 10 - 8 < 10 - 6

Resposta

P 3 x = 3 x - 9 x 2 2 + 9 x 3

ln 1,03 0,029559

ln 0,97 - 0,030459

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas