Exercícios Resolvidos de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)

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Enunciado

Seja a função f x = x 5 :

a Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 de f em torno do ponto x 0 , onde x 0 ≠ 0 , e seu respectivo erro associado.

b Usando o Item a para x 0 = 32 , encontre o valor aproximado de 34 5 e decida se o erro, em módulo, é inferior que 1 5 2 . 2 15 .

Passo 1

a Para determinar o polinômio de Taylor começamos achando todas as derivadas até a derivada terceira:

f x = x 1 5

f ' x = 1 5 x - 4 5

f ' ' x = - 4 25 x - 9 5

f ' ' ' x = 36 125 x - 14 5

Em x = x 0 as derivadas valerão, portanto:

f x = x 0 1 5   ;   f ' x = 1 5 x 0 - 4 5

f ' ' x = - 4 25 x 0 - 9 5   ;   f ' ' ' x = 36 125 x 0 - 14 5

Passo 2

Agora a gente aplica a definição do polinômio de Taylor para cada parcela (grau 0,1 ,   2 e 3 ):

f x 0 x - x 0 0 0 ! = x 0 1 5

f ' x 0 x - x 0 1 1 ! = 1 5 x 0 - 4 5 x - x 0

f ' ' x 0 x - x 0 2 2 ! = - 2 25 x 0 - 9 5 x - x 0 2

f ' ' ' x 0 x - x 0 3 3 ! = 6 125 x 0 - 14 5 x - x 0 3

Juntando todos os termos achamos o nosso p 3 x :

p 3 x = x 0 1 5 + 1 5 x 0 - 4 5 x - x 0 - 2 25 x 0 - 9 5 x - x 0 2 + 6 125 x 0 - 14 5 x - x 0 3

Passo 3

Agora, sabemos que o Erro é menor ou igual à fórmula do polinômio de Taylor um grau acima do que aproximamos, ou seja:

E x ≤ f ' ' ' ' x 0 x - x 0 4 4 !

Como f ' ' ' ' x = - 504 625 x - 19 5 temos:

f ' ' ' ' x 0 x - x 0 4 4 ! = - 21 625 x 0 - 19 5 x - x 0 4

Essa é a aproximação do erro máximo.

Passo 4

b Agora o negócio é só aplicar o polinômio de Taylor p 3 para x 0 = 32 e buscar a aproximação para f x = 34 5 , ou seja, usando x = 34 . Tudo se resume a fazer conta:

p 3 34 = 32 1 5 + 1 5 32 - 4 5 34 - 32 - 2 25 32 - 9 5 34 - 32 2 + 6 125 32 - 14 5 34 - 32 3

p 3 34 = 2 5 1 5 + 1 5 2 5 - 4 5 2 - 2 25 2 5 - 9 5 2 2 + 6 125 2 5 - 14 5 2 3

= 2 + 1 5 1 2 3 - 1 25 1 2 6 + 3 125 1 2 10

= 2 + 1 40 - 1 1600 + 3 128000

Essa é a hora de pedir uma ajudinha para a calculadora:

= 2 + 0,025 - 0,000625 + 0,0000234

= 2,0243984

Agora a aproximação do erro:

E 34 = - 21 625 32 - 19 5 34 - 32 4

= - 21 625 2 - 19 2 4

= - 21 25 1 5 2 . 2 15

No enunciado da letra b era pedido para compararmos se o erro, em módulo, era menor que 1 5 2 . 2 15 . Como o erro que achamos é como se fosse esse valor multiplicado por - 21 25 , cujo módulo é menor que 1 , notamos que o erro será, de fato, inferior a 1 5 2 . 2 15 .

Resposta

a   p 3 x = x 0 1 5 + 1 5 x 0 - 4 5 x - x 0 - 2 25 x 0 - 9 5 x - x 0 2 + 6 125 x 0 - 14 5 x - x 0 3

; E x ≤ - 21 625 x 0 - 19 5 x - x 0 4

b   34 5 ≈ 2,0243984   ; O   m ó d u l o   d o   e r r o   m á x i m o   a s s o c i a d o   é   i n f e r i o r   a   1 5 2 . 2 15 .

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