Exercícios Resolvidos de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)

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Enunciado

Use o polinômio de Taylor da função f x = sen ⁡ x em torno de x 0 = 1 2 , de menor grau possível, para obter uma aproximação de sen ⁡ ( x ) com erro inferior a 10 - 5 .

Passo 1

Bem, exercício confuso, neh? Veja só a gente quer encontrar um polinômio de Taylor para o seno próximo ao ponto x = 0 , mas que ainda próximo ao ponto x 0 = 1 2 ela possua um erro de 10 - 5 .

Por que queremos a construção do polinômio ao redor x = 0 e não de x 0 = 1 2 ?

Bem, pois pense comigo: O problema quer que usemos o polinômio em seguida x 0 = 1 / 2 para referenciar o erro na ordem de 10 - 5 . Então não faria sentido calcular o polinômio em torno de x 0 = 1 / 2 , pois se não teria erro, saca?

A expressão desse erro é sempre dada por:

E x ≤ f n + 1 c x 0 - x n + 1 n + 1 !   →

Logo, substituindo o x = 0 e o x 0 = 1 2 (referência do erro escolhido)...

E 0,5 ≤ f n + 1 c 0,5 n + 1 n + 1 !

Passo 2

Para saber até que ordem vamos aproximar, vamos determinar o erro.

E 0,5 ≤ f n + 1 c 0,5 n + 1 n + 1 !

Para evitar fadiga, antecipamos que:

f 7 x = - cos ⁡ ( x )

Que tem valor máximo 1 . Então consideremos f 7 c = 1 já que é o valor máximo assumido, pois assim vamos encontrar o maior erro nessas condições, saca?

Para o valor x = 0 que estamos queremos aproximar:

E 0 ≤ 1 0.5 7 7 ! = 1.5501 ⋅ 10 - 6   →

E 0 ≤ 1.5501 ⋅ 10 - 6

Então, aproximação por ordem 7 - 1 é interessante!

Passo 3

Para aproximar, vamos calcular cada uma das derivadas, o que é bem simples:

f x = sen ⁡ x ⟹ f 0 = 0 f ' x = cos ⁡ x ⟹ f ' 0 = 1

f ' ' x = - s e n ⁡ ( x ) ⟹ f ' ' 0 = 0

f ' ' ' x = - c o s ⁡ ( x ) ⟹ f ' ' ' ( 0 ) = - 1

f 4 x = s e n ⁡ ( x ) ⟹ f 4 0 = 0

f 5 x = c o s ⁡ ( x ) ⟹ f 5 0 = 1

Assim, o polinômio de Taylor será:

P x = x - x 3 3 ! + x 5 5 !

Logo, a aproximação de s e n ⁡ ( 0.5 ) será:

P 0.5 = 0.5 - ( 0.5 ) 3 3 ! + ( 0.5 ) 5 5 !

E essa aproximação, possui um erro menor que 10 - 5 !

Resposta

P 0.5 = 0.5 - ( 0.5 ) 3 3 ! + ( 0.5 ) 5 5 !

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Calcule um valor aproximado e avalie o erro. 32,002 5
Calcule um valor aproximado e avalie o erro. sen ⁡ 0,02